2018-全国卷I理-15 填-组合数

本题导读

本题考查组合与组合数公式，以及计数原理。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I理）从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 $\underline{}$ 种.（用数字填写答案）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 总选法：忽略性别限制，从总共 $2+4=6$ 人中随机选 3 人的选法总数为 $C_6^3$。
2. 反面情况：题目要求“至少 1 位女生”，其对立面（反面）就是“一位女生也没有”，即全选男生。从 4 位男生中选 3 人的选法总数为 $C_4^3$。
3. 作差求解：总选法减去反面选法，即得满足条件的选法数。
4. 备选方案（直接法）：

• 情况 1：1 女 2 男 $⟹C_2^1\cdot C_4^2$。
• 情况 2：2 女 1 男 $⟹C_2^2\cdot C_4^1$。
• 将两种情况相加。

✅【答案】

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16

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 16

【解析过程】 方法一：间接法（推荐）

1. 从 6 人中随机选出 3 人的总选法数为： $C_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$
2. 全部选到男生的选法数（即没有女生入选）为： $C_4^3=C_4^1=4$
3. 则至少有 1 位女生入选的选法数为： $20-4=16$

方法二：直接法

1. 恰有 1 位女生入选（从 2 女选 1，从 4 男选 2）： $C_2^1\times C_4^2=2\times \frac{4\times 3}{2\times 1}=2\times 6=12$
2. 恰有 2 位女生入选（从 2 女选 2，从 4 男选 1）： $C_2^2\times C_4^1=1\times 4=4$
3. 总选法数为： $12+4=16$

故填入：16。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. “至少”与“至多”：看到这两个词，第一反应应是考虑间接法。如果反面情况较少，间接法可以显著降低出错率。
2. 组合数计算：熟记常用组合数值，如 $C_6^3=20$，$C_5^2=10$ 等，有助于提速。
3. 逻辑完整性：直接法虽然慢，但在间接法结果不确定时，可以用直接法进行交叉检验。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个通式：

• “至少有一个”模型：符合条件数 = 总数 - 一个都没有。
• “至少有两个”模型：符合条件数 = 总数 - (一个都没有 + 恰好有一个)。
• 应用场景：这种思维不仅适用于计数问题，也广泛应用于概率论中计算“至少发生一次”的概率 $P=1-P(\text{全不发生})$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-13 填-组合数公式
• 2014-大纲卷理-05 单-组合
• 1991-全国卷理-09