2013-重庆卷理-13 填-组合数公式

本题导读

本题考查组合与组合数，以及组合数公式。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(理)） 从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 $\underline{}$ （用数字作答）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 总选法数：医生总数为 $3+4+5=12$ 名。从 12 人中选 5 人的总方法数为 $C_{12}^5$。
2. 逆向思维（排除法）：要求三科医生都有，反面情况是：
   • 只有一科医生（本题中不可能，因为单科最高人数仅 5 人，若选 5 人全是内科只有 1 种情况，骨科和脑外科人数均不足 5 人）。
   • 只有两科医生（即缺少某一科医生）。
3. 分类讨论反面情况：
   • 不选骨科：在脑外科和内科共 9 人中选 5 人，方法数为 $C_9^5$。
   • 不选脑外科：在骨科和内科共 8 人中选 5 人，方法数为 $C_8^5$。
   • 不选内科：在骨科和脑外科共 7 人中选 5 人，方法数为 $C_7^5$。
4. 处理重复计数（容斥原理）：
   • “不选骨科”和“不选脑外科”的交集是“只选内科”，这部分在 $C_9^5$ 和 $C_8^5$ 中都被计算了。

✅【答案】

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590

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算总数 从 12 人中任选 5 人的总数为： $C_{12}^5=\frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=792$

第二步：计算不符合条件的情况

1. 缺骨科（即从 9 名脑外和内科医生中选）： $C_9^5=C_9^4=\frac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times 1}=126$
2. 缺脑外科（即从 8 名骨科和内科医生中选）： $C_8^5=C_8^3=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56$
3. 缺内科（即从 7 名骨科和脑外科医生中选）： $C_7^5=C_7^2=\frac{7\times 6}{2\times 1}=21$

第三步：剔除重复扣除的部分 在上述排除中，“只选内科”的情况被重复计算了：

• “缺骨科”中包含“只选内科”的情况。
• “缺脑外科”中也包含“只选内科”的情况。 由于内科医生恰好 5 人，所以“只选内科”只有 $C_5^5=1$ 种情况。 注意：由于骨科和脑外人数不足 5 人，不存在“只选骨科”或“只选脑外科”的情况。

第四步：求最终结果 符合条件的方法数 = 总数 - (不符合条件的并集) 根据容斥原理： $792-[(C_9^5+C_8^5+C_7^5)-C_5^5]$ $=792-[(126+56+21)-1]$ $=792-[203-1]$ $=792-202=590$

故答案为：590。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：“正难则反”。当正面分类情况过多（如 $1+1+3,1+2+2,\dots$）时，间接法更高效。 2. 易错点：使用间接法时，容易在**“重叠部分”**出错。必须仔细检查排除的集合之间是否有交集（即是否同时缺少两科医生）。

避坑指南：计算组合数时，利用 $C_n^k=C_n^{n-k}$ 可以大幅简化手算工作量。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：隔板法（处理元素无区别情况）、排列数公式。

结论推广：对于 $n$ 个科室各至少 1 人的问题，通法是使用容斥原理。

方法推广：涉及“至少”字样的计数题，优先考虑排除法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-10 填-组合数
• 2014-大纲卷文-07 单-组合计数