2018-全国卷II文-06 单-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及双曲线的离心率与渐近线。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II文）双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$, 则其渐近线方程为 ()

A. $y=\pm \sqrt{2}x$　　　　B. $y=\pm \sqrt{3}x$　　　　C. $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$　　　　D. $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据双曲线离心率公式 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$，结合 $c^2=a^2+b^2$ 求出 $a$ 与 $b$ 的关系。
2. 利用双曲线渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$，可得 $c=\sqrt{3}a$， 因为 $c^2=a^2+b^2$，所以： $(\sqrt{3}a{)}^2=a^2+b^2⟹3a^2=a^2+b^2⟹b^2=2a^2⟹b=\sqrt{2}a$ 双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{\sqrt{2}a}{a}x=\pm \sqrt{2}x$。 故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线离心率、渐近线方程。
2. 核心方法：参数关系代入法。
3. 避坑指南：注意双曲线中 $a,b,c$ 满足 $c^2=a^2+b^2$，切勿与椭圆公式混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线常考基础题。
2. 结论推广: 双曲线离心率 $e$ 唯一决定了渐近线的斜率。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2013-北京卷理-06 单-双曲线性质