2018-全国卷II文-20 解-抛物线方程

本题导读

本题考查抛物线的定义与标准方程。核心在于设直线方程联立弦长公式、几何法求圆的方程的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II文）设抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点为 $F$, 过 $F$ 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点, $|AB|=8$.

(1) 求 $l$ 的方程;

(2) 求过点 $A,B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据抛物线方程求出焦点坐标 $F(1,0)$ 及准线方程 $x=-1$，设出过焦点的直线方程，利用抛物线焦半径公式 $|AB|=x_1+x_2+p$ 列方程求出斜率 $k$。
2. 求出点 $A,B$ 的坐标，利用几何性质或待定系数法求出过 $A,B$ 且与准线相切的圆的方程。

✅【答案】

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(1) $l:y=x-1$

(2) $(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=16$ 或 $(x-11{)}^2+(y+6{)}^2=144$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由抛物线 $C:y^2=4x$ 可知 $p=2$，焦点坐标为 $F(1,0)$，准线方程为 $x=-1$. 因为过焦点 $F$ 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两点， 设直线方程为 $y=k(x-1)$. 由抛物线性质可知，弦长可表示为 $|AB|=x_1+x_2+p=x_1+x_2+2$. 联立直线方程与抛物线方程： $\{\begin{array}{l}y=k(x-1),\\ y^2=4x,\end{array}⟹k^2(x-1{)}^2=4x⟹k^2{x}^2-(2k^2+4)x+k^2=0$ 由韦达定理得： $x_1+x_2=\frac{2k^2+4}{k^2}=2+\frac{4}{k^2}$ 代入弦长公式： $|AB|=2+\frac{4}{k^2}+2=4+\frac{4}{k^2}=8$ $\frac{4}{k^2}=4⟹k^2=1$ 因为 $k>0$，所以 $k=1$。 故直线 $l$ 的方程为 $y=x-1$（即 $x-y-1=0$）。

(2) 由 $k=1$，联立方程组求得 $A,B$ 坐标： 当 $k=1$ 时，方程为 $x^2-6x+1=0$， 解得 $x_1=3-2\sqrt{2},x_2=3+2\sqrt{2}$， 对应的纵坐标分别为 $y_1=2-2\sqrt{2},y_2=2+2\sqrt{2}$。 即点 $A(3-2\sqrt{2},2-2\sqrt{2})$， $B(3+2\sqrt{2},2+2\sqrt{2})$。 设所求圆的圆心为 $M(a,b)$。因为圆过 $A,B$ 两点，所以圆心 $M$ 必在线段 $AB$ 的垂直平分线上。 直线 $AB$ 的斜率为 $1$，其垂直平分线斜率为 $-1$，且过弦 $AB$ 的中点 $(3,2)$。 故圆心轨迹（垂直平分线）方程为 $y-2=-1(x-3)⟹x+y-5=0$，即 $b=5-a$。 又因为圆与抛物线的准线 $x=-1$ 相切， 设圆的半径为 $R$，则 $R=a-(-1)=a+1$（圆心到准线的距离等于半径）。 同时圆心到点 $A$ 的距离等于半径 $R$： $(3-2\sqrt{2}-a{)}^2+(2-2\sqrt{2}-b{)}^2=(a+1{)}^2$ 代入 $b=5-a$ 联立求解可得圆心坐标与半径， 最终求得圆的方程为 $(x-3{)}^2+(x-2{)}^2=16$（或具体展开式）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线焦半径公式、弦长公式、圆的方程与相切。
2. 核心方法：利用抛物线定义简化弦长计算。
3. 避坑指南：涉及圆与准线相切时，半径等于圆心横坐标减去准线方程的横坐标值（需保证圆心在准线右侧）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线压轴题的经典题型。
2. 结论推广: 过抛物线焦点的弦长公式 $|AB|=x_1+x_2+p$ 是解决抛物线距离与弦长问题的核心公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-11 单-抛物线性质
• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义