2018-全国卷II理-04 单-向量数量积

本题导读

本题考查向量的数量积运算律，以及向量的模与数量积的关系。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）已知向量 $\vec{a},\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1$，$\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$，则 $\vec{a}\cdot (2\vec{a}-\vec{b})=$()

A. 4　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 0

🔍【思路分析】

破题导航

1. 运用分配律：将 $\vec{a}\cdot (2\vec{a}-\vec{b})$ 展开为 $2\vec{a}\cdot \vec{a}-\vec{a}\cdot \vec{b}$。
2. 转化模与数量积：利用核心性质 $\vec{a}\cdot \vec{a}={\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2$。
3. 代入已知数值：将 $|\vec{a}|=1$ 和 $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$ 代入简化后的式子进行计算。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】 根据向量数量积的运算律： $\vec{a}\cdot (2\vec{a}-\vec{b})=2\vec{a}\cdot \vec{a}-\vec{a}\cdot \vec{b}$

又因为 $\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2$，代入已知条件 $|\vec{a}|=1,\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$： $\vec{a}\cdot (2\vec{a}-\vec{b})=2|\vec{a}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})$ $=2\times 1^2-(-1)$ $=2+1$ $=3$

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 基本性质：${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2$ 是向量运算中最常用的桥梁，务必熟练。
2. 符号问题：在减去一个负的数量积时（$-(-1)$），注意符号变为正号。
3. 计算误区：向量数量积的结果是一个实数（标量），不再是向量，因此选项均为纯数字。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下几何推导：

• $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos \theta$。
• 本题中 $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$ 且 $|\vec{a}|=1$，说明 $|\vec{b}|\cos \theta =-1$。
• 这意味着向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 方向上的投影长度为 1，且方向相反（夹角为钝角）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2009-陕西卷文-08 单-向量中点数量积
• 2010-安徽卷文-03 单-向量垂直判定