2018-全国卷II理-05 单-双曲线方程

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的离心率定义。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的离心率为 $\sqrt{3}$，则其渐近线方程为()

A. $y=\pm \sqrt{2}x$　　　　B. $y=\pm \sqrt{3}x$　　　　C. $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$　　　　D. $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}x$

🔍【思路分析】

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1. 明确目标：焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。因此，求出 $\frac{b}{a}$ 的值是解题核心。
2. 利用已知条件：已知离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$。
3. 联系 $a,b,c$：在双曲线中，$c^2=a^2+b^2$。

• 变形得：$(\frac{c}{a}{)}^2=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+(\frac{b}{a}{)}^2$。
• 即关键公式：$e^2=1+(\frac{b}{a}{)}^2$。

4. 代入计算：将 $e=\sqrt{3}$ 代入上述公式，求出 $\frac{b}{a}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】 由双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 可知其渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 因为离心率 $e=\sqrt{3}$， 根据双曲线几何性质可知： $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2$ 代入 $e^2=(\sqrt{3}{)}^2=3$： $3=1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2⟹{\left(\frac{b}{a}\right)}^2=2$ 因为 $a>0,b>0$，所以 $\frac{b}{a}=\sqrt{2}$。 故渐近线方程为 $y=\pm \sqrt{2}x$。

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心公式：

• 焦点在 $x$ 轴：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1⟹$ 渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$，$e^2=1+(\frac{b}{a}{)}^2$。
• 焦点在 $y$ 轴：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1⟹$ 渐近线 $y=\pm \frac{a}{b}x$，$e^2=1+(\frac{b}{a}{)}^2$（注意离心率定义不变，但渐近线斜率倒置）。

2. 快速记忆：渐近线就是将双曲线标准方程右边的“1”改为“0”后解出的直线方程。
3. 易错点：离心率 $e$ 与渐近线斜率 $k$ 的平方差 1 的关系。不要记成 $e^2=1-(\frac{b}{a}{)}^2$（那是椭圆）。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下关联：

• 当 $e=\sqrt{2}$ 时，$\frac{b}{a}=1$，此时为等轴双曲线，渐近线为 $y=\pm x$（互相垂直）。
• 离心率 $e$ 越大，$\frac{b}{a}$ 越大，双曲线的开口就越开阔。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程