2018-全国卷II理-06 单-二倍角公式

本题导读

本题考查二倍角公式，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）在 $△ABC$ 中，$\cos \frac{C}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$BC=1$，$AC=5$，则 $AB=$()

A. $4\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{30}$　　　　　　　C. $\sqrt{29}$　　　　　　　D. $2\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化角度：已知 $\cos \frac{C}{2}$，要求 $AB$（即边 $c$），需要知道 $\cos C$。
2. 应用倍角公式：利用 $\cos C=2{\cos }^2\frac{C}{2}-1$ 求出 $\cos C$ 的值。
3. 应用余弦定理：在 $△ABC$ 中，已知 $a=1,b=5$ 及 $\cos C$，代入公式 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 计算。
4. 开方取值：求出 $c^2$ 后开平方即可。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 求 $\cos C$： 根据二倍角公式： $\cos C=2{\cos }^2\frac{C}{2}-1$ 代入 $\cos \frac{C}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$： $\cos C=2\times {\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^2-1=2\times \frac{5}{25}-1=\frac{2}{5}-1=-\frac{3}{5}$

2. 求 $AB$： 在 $△ABC$ 中，由余弦定理得： $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C$ 代入 $AC=5,BC=1,\cos C=-\frac{3}{5}$： $A{B}^2=5^2+1^2-2\times 5\times 1\times \left(-\frac{3}{5}\right)$ $A{B}^2=25+1+6=32$ 所以 $AB=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 公式熟练度：余弦的倍角公式有三种形式，本题选择 $2{\cos }^2\theta -1$ 是最直接的。
2. 符号注意：$\cos C=-3/5$ 说明 $\angle C$ 是一个钝角，在余弦定理计算中，$-2ab\cos C$ 会变成加法，这一点极易出错。
3. 数值敏感：计算出 $A{B}^2=32$ 时，应立刻联想到 $16\times 2$，从而快速得出 $4\sqrt{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下常用三角函数值对：

• 若 $\cos \frac{C}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，则 $\cos C=-\frac{3}{5}$，$\sin C=\frac{4}{5}$。
• 这是一个边长比为 $3:4:5$ 的直角三角形相关的半角关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2025-天津卷-16 解-解三角形综合
• 2010-辽宁卷理-17
• 2010-重庆卷文-18 解-余弦定理与三角变换