2010-重庆卷文-18 解-余弦定理与三角变换

本题导读

考查解三角形。$3(b^2+c^2-a^2)=4\sqrt{2}bc$ 即 $6bc\cos A=4\sqrt{2}bc$，$\cos A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\sin A=\frac{1}{3}$。（2）$\sin (B+C+\frac{\pi }{4})=\sin (\frac{5\pi }{4}-A)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin A-\cos A)$，原式 $=\frac{{\sin }^{2}A-{\cos }^{2}A}{2{\sin }^{2}A}=\frac{\frac{1}{9}-\frac{8}{9}}{\frac{2}{9}}=-\frac{7}{2}$。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(文)） 设 $△ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边长分别为 $a$，$b$，$c$，且 $3b^2+3c^2-3a^2=4\sqrt{2}bc$.

(1)求 $\sin A$ 的值；

(2)求 $\frac{2\sin \left(A+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(B+C+\frac{\pi }{4}\right)}{1-\cos 2A}$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 代入条件，约去 $bc$ 得 $\cos A$，再用平方关系求 $\sin A$。 2.（2）$B+C=\pi -A$，$\sin \left(\frac{5\pi }{4}-A\right)$ 展开化简。 3. 分母 $1-\cos 2A=2{\sin }^{2}A$，约分代入数值。

✅【答案】

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(1) $\frac{1}{3}$

(2) $-\frac{7}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由余弦定理，$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. 代入题设得 $3(b^2+c^2-a^2)=4\sqrt{2}bc,即6bc\cos A=4\sqrt{2}bc.$ 由于 $b$ 与 $c$ 均为正数，所以 $\cos A=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$ 又 $0<A<\pi$，故 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\frac{1}{3}.$ （2）因为 $B+C=\pi -A$，所以 $\sin \left(B+C+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{4}-A\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin A-\cos A).$ 又 $\sin \left(A+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin A+\cos A)$，$1-\cos 2A=2{\sin }^{2}A$，于是原式为 $\frac{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin A+\cos A)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin A-\cos A)}{2{\sin }^{2}A}=\frac{{\sin }^{2}A-{\cos }^{2}A}{2{\sin }^{2}A}.$ 代入 $\sin A=\frac{1}{3}$，$\cos A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$： ${\sin }^{2}A=\frac{1}{9},{\cos }^{2}A=\frac{8}{9},$ 故原式 $=\frac{\frac{1}{9}-\frac{8}{9}}{\frac{2}{9}}=\frac{-\frac{7}{9}}{\frac{2}{9}}=-\frac{7}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理与三角恒等变换

核心方法：$\cos A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$、$\sin A=\frac{1}{3}$；原式约分后 $=\frac{{\sin }^{2}A-{\cos }^{2}A}{2{\sin }^{2}A}=-\frac{7}{2}$

避坑指南：条件 $3b^2+3c^2-3a^2=4\sqrt{2}bc$ 直接就是余弦定理的变形，约去 $bc$ 得 $\cos A$；$B+C=\pi -A$ 让 $\sin (\frac{5\pi }{4}-A)$ 可展开；分母 $1-\cos 2A=2{\sin }^{2}A$ 是二倍角公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形 + 恒等变换综合：第一问用定理求角，第二问换元化简代入。

结论推广：$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$；$\sin \left(\frac{5\pi }{4}-A\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin A-\cos A)$；$1-\cos 2A=2{\sin }^{2}A$。

方法推广：条件与余弦定理结构对齐是第一步；展开 $\sin (\pi +\frac{\pi }{4}-A)$ 时注意符号；最后代数值前先把式子化到最简。

🔗【关联脉络】

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• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-17 解-解三角形
• 2009-大纲卷II文-18 解-解三角形求角
• 2011-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形求高
• 2011-浙江卷文-05 单-正弦定理边角互化