2018-全国卷II理-07 单-程序框图

本题导读

本题考查程序框图，以及变量累加与迭代。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）为计算 $S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入()

A. $i=i+1$　　B. $i=i+2$　　C. $i=i+3$　　D. $i=i+4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析求和式结构： $S=(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\dots +\frac{1}{99})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\dots +\frac{1}{100})$。 可以看出，式子被分成了奇数项分母之和（正项）与偶数项分母之和（负项）。
2. 观察框图逻辑：

• 变量 $A$ 累加的是 $\frac{1}{i}$，初始 $i=1$，所以 $A$ 负责奇数项。
• 变量 $B$ 累加的是 $\frac{1}{i+1}$，初始 $i=1$ 时累加的是 $\frac{1}{2}$，所以 $B$ 负责偶数项。

3. 确定步长： 在一次循环中，$A$ 处理了 $i$， $B$ 处理了 $i+1$。为了使下一次循环处理紧接着的奇数项（即 $i+2$）和偶数项（即 $i+3$），$i$ 的值必须跳过已经处理过的两个数。 因此，$i$ 应更新为 $i+2$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 第一次循环： 输入 $i=1$。 $A=A+\frac{1}{1}=1$； $B=B+\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$。
2. 第二次循环需求： 为了得到求和式中的下两项 $+\frac{1}{3}$ 和 $-\frac{1}{4}$，我们需要： $A$ 累加 $\frac{1}{3}$，即此时的 $i$ 应该是 $3$； $B$ 累加 $\frac{1}{4}$，即此时的 $i+1$ 应该是 $4$。
3. 计算步长： 从 $i=1$ 变到 $i=3$，空白框内必须填写 $i=i+2$。
4. 验证结束条件： 当 $i=99$ 时，执行最后一次循环： $A=A+\frac{1}{99}$，$B=B+\frac{1}{100}$。 随后 $i$ 变为 $101$，跳出循环，计算 $S=A-B$，结果完全符合题意。

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 循环步长的陷阱：很多同学习惯性地选 $i=i+1$，但在本题中，循环体内部一次性处理了两项（$i$ 和 $i+1$），如果步长为 1，会导致每一项都被重复计算两次（例如 $i=2$ 时又会算一遍 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{3}$）。
2. 结构特征：这种“奇偶拆分”求和在框图中很常见，通常伴随着步长为 2 的特征。
3. 模拟运行法：对于程序框图，最稳妥的方法是手动模拟前两步，观察变量的变化是否符合数列的项。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下判定准则：

• 累加求和：看清初始值（是 0 还是 1）和累加项。
• 循环次数：注意判定框是“$i<n$”还是“$i\le n$”，这决定了是否多运行一圈。
• 输出位置：注意是在循环内输出（打印每一项）还是循环外输出（打印最终和）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

类题演练 (Links)

• 2008-山东卷文-14 填-程序框图循环输出
• 2008-广东卷文-13 填-程序框图整除输出
• 2009-山东卷文-15 填-程序框图