2018-全国卷II理-11 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的对称性。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty ,+\infty )$ 的奇函数，满足 $f(1-x)=f(1+x)$.若 $f(1)=2$，则 $f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(50)=$()

A. $-50$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $50$

🔍【思路分析】

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1. 推导周期性：

• 已知 $f(x)$ 是奇函数，则 $f(-x)=-f(x)$，且 $f(0)=0$。

• 已知 $f(1-x)=f(1+x)$，说明函数关于直线 $x=1$ 对称。

• 利用结论：若函数关于 $x=a$ 和 $x=b$ 对称，或关于一点对称且关于一线对称，必有周期性。

• 推导：$f(x+2)=f(1+(x+1))=f(1-(x+1))=f(-x)=-f(x)$。

• 进一步：$f(x+4)=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x)$。所以周期 $T=4$。

2. 确定一个周期内的值：

• $f(1)=2$。

• $f(2)$：由 $f(1-x)=f(1+x)$ 令 $x=1$，得 $f(0)=f(2)$。因为是奇函数，$f(0)=0$，故 $f(2)=0$。

• $f(3)$：$f(3)=f(1+2)=f(1-2)=f(-1)$。因为是奇函数，$f(-1)=-f(1)=-2$。

• $f(4)$：$f(4)=f(0)=0$（或利用 $f(2+2)=-f(2)$）。

3. 计算求和：

• 一个周期内的和 $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0+(-2)+0=0$。

• 50 项包含 $50÷4=12$ 个完整周期，余下 2 项。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 周期性证明：

由 $f(1-x)=f(1+x)$ 知函数关于 $x=1$ 对称。

又 $f(x)$ 为奇函数，关于 $(0,0)$ 中心对称。

$f(x+2)=f(1+(x+1))=f(1-(x+1))=f(-x)$。

因为 $f(x)$ 是奇函数，所以 $f(-x)=-f(x)$。

即 $f(x+2)=-f(x)$，由此得 $f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x)$。

故 $f(x)$ 是周期为 $4$ 的周期函数。

2. 求关键项的值：

• $f(1)=2$；

• $f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0$（奇函数在原点有定义则 $f(0)=0$）；

• $f(3)=f(1+2)=f(1-2)=f(-1)=-f(1)=-2$；

• $f(4)=f(0)=0$。

注意到：$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0+(-2)+0=0$。

3. 计算总和：

${\sum }_{n=1}^{50}f(n)=12\times [f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)$

由于周期为 4：

• $f(49)=f(12\times 4+1)=f(1)=2$

• $f(50)=f(12\times 4+2)=f(2)=0$

总和 $=12\times 0+2+0=2$。

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 周期性结论模型：

• 奇函数 + 关于 $x=a$ 对称 $⟹T=4a$。

• 偶函数 + 关于 $x=a$ 对称 $⟹T=2a$。

2. 特殊点处的值：奇函数在对称中心（如原点）处必有 $f(0)=0$；在对称轴与 $x$ 轴交点处若连续也常有特殊值。

3. 求和技巧：处理大项数求和，第一步永远是找周期，第二步计算一个完整周期的和，第三步处理余项。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个通式：

• 若 $f(a+x)=-f(a-x)$，则关于点 $(a,0)$ 对称。

• 若 $f(a+x)=f(a-x)$，则关于直线 $x=a$ 对称。

• 本题变式：若题目改为 $f(1-x)=-f(1+x)$，则函数关于 $(1,0)$ 对称，此时 $T=2\times |1-0|=2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11

• 2005-天津卷理-16 填-奇函数零点性质

• 2007-天津卷理-07 单-函数单调性区间平移