2018-全国卷II理-17 解-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式。核心在于基本量法、配方法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=-7$，$S_3=-15$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 求 $S_n$，并求 $S_n$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（基本量法）：

• 等差数列的核心是 $a_1$ 和公差 $d$。
• 利用 $S_3=3a_1+\frac{3\times 2}{2}d=-15$ 建立关于 $d$ 的方程。
• 求出 $d$ 后，代入通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$。

2. 第二问（最值问题）：

• 将 $a_1$ 和 $d$ 代入前 $n$ 项和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$。
• 得到 $S_n$ 关于 $n$ 的二次函数解析式。
• 方法一（函数法）：通过配方求出对称轴，结合 $n$ 为正整数的约束条件寻找最值。
• 方法二（邻项符号法）：通过 $a_n$ 的正负转换点来判断。当 $a_n<0$ 且 $a_{n+1}\ge 0$ 时，$S_n$ 取得最小值。

✅【答案】

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(1) $a_n=2n-9$

(2) $S_n=n^2-8n$，当 $n=4$ 时取得最小值 $-16$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 由 $S_3=-15$ 得： $3a_1+\frac{3\times (3-1)}{2}d=-15$ $3a_1+3d=-15$ 将 $a_1=-7$ 代入得： $3\times (-7)+3d=-15⟹-21+3d=-15⟹3d=6⟹d=2$ 所以 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=-7+(n-1)\times 2=2n-9$

(2)解： 由(1)得 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 为： $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=-7n+\frac{n(n-1)}{2}\times 2$ $S_n=-7n+n^2-n=n^2-8n$ 对二次函数进行配方： $S_n=(n-4{)}^2-16$ 因为 $n$ 是正整数，所以当 $n=4$ 时，$S_n$ 取得最小值。 最小值为 $S_4=4^2-8\times 4=16-32=-16$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 数列与函数的关系：等差数列的求和公式是一个常数项为 0 的二次函数。
2. 定义域限制：求最值时必须检查对称轴处的 $n$ 是否为正整数。如果对称轴不是整数（如 $n=4.5$），则最小值在靠近对称轴的整数点（如 $n=4$ 或 $n=5$）处取得。
3. 判定最小值的另一种逻辑：观察 $a_n=2n-9$：

• $a_1=-7,a_2=-5,a_3=-3,a_4=-1,a_5=1$。
• 前四项均为负数，加起来 $S_n$ 会越来越小；从第五项开始为正数，$S_n$ 开始增大。
• 故 $S_4$ 是最小值点，这与配方法结论一致。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个结论：

• 若 $d>0$，$S_n$ 的图象开口向上，有最小值。
• 若 $d<0$，$S_n$ 的图象开口向下，有最大值。
• 数列的最值通常出现在通项 $a_n$ 变号的位置附近。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和