2018-全国卷II理-20 解-线面垂直

本题导读

本题考查线面垂直的判定定理。核心在于几何运算法、空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$AB=BC=2\sqrt{2}$，$PA=PB=PC=AC=4$，$O$ 为 $AC$ 的中点.

(1) 证明：$PO\perp$ 平面 $ABC$；

(2) 若点 $M$ 在棱 $BC$ 上，且二面角 $M-PA-C$ 为 $30^{\circ }$，求 $PC$ 与平面 $PAM$ 所成角的正弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（垂直证明）：

• 线线垂直 1：因为 $△PAC$ 是等边三角形（$PA=PC=AC=4$），$O$ 是中点，所以 $PO\perp AC$ 且 $PO=2\sqrt{3}$。
• 线线垂直 2：在底面 $△ABC$ 中，由 $AB=BC=2\sqrt{2},AC=4$ 知 $A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$，故 $\angle ABC=90^{\circ }$。连接 $OB$，则 $OB=\frac{1}{2}AC=2$ 且 $OB\perp AC$。
• 关键判断：在 $△POB$ 中，计算 $P{O}^2+O{B}^2$ 是否等于 $P{B}^2$。$(2\sqrt{3}{)}^2+2^2=12+4=16=4^2$。根据勾股定理逆定理，$PO\perp OB$。
• 结论：$PO$ 垂直于平面内两条相交直线 $AC$ 和 $OB$，故 $PO\perp$ 平面 $ABC$。

2. 第二问（空间向量）：

• 建系：以 $O$ 为原点，$OB$ 为 $x$ 轴，$OC$ 为 $y$ 轴，$OP$ 为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。
• 设点：利用分点坐标公式或比例设点 $M$ 在 $BC$ 上。
• 法向量：平面 $PAC$ 的法向量显而易见（即 $\overrightarrow{OB}$）。求出平面 $PAM$ 的法向量 $\vec{n}$（含参数）。
• 解参数：利用二面角余弦值 $|\cos ⟨\vec{n},\overrightarrow{OB}⟩|=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 求出 $M$ 的具体坐标。
• 求线面角：计算 $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{PC},\vec{n}⟩|$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 证明见解析

(2) $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明： 因为 $PA=PC=AC=4$，$O$ 为 $AC$ 的中点， 所以 $PO\perp AC$，且 $PO=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。 在底面 $△ABC$ 中，因为 $AB=BC=2\sqrt{2}$，$AC=4$， 由 $A{B}^2+B{C}^2=(2\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2=16=A{C}^2$，知 $\angle ABC=90^{\circ }$。 因为 $O$ 为 $AC$ 中点，所以 $OB=\frac{1}{2}AC=2$，且 $OB\perp AC$。 在 $△POB$ 中，$P{O}^2+O{B}^2=(2\sqrt{3}{)}^2+2^2=16=P{B}^2$（已知 $PB=4$）， 所以 $PO\perp OB$。 又因为 $OB\cap AC=O$，$OB,AC\subset$ 平面 $ABC$， 所以 $PO\perp$ 平面 $ABC$。

(2)解：

以 $O$ 为原点，$\overrightarrow{OB}$ 为 $x$ 轴，$\overrightarrow{OC}$ 为 $y$ 轴，$\overrightarrow{OP}$ 为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。 则 $O(0,0,0),A(0,-2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2\sqrt{3})$。 $\overrightarrow{PA}=(0,-2,-2\sqrt{3})$，$\overrightarrow{AC}=(0,4,0)$。 易知平面 $PAC$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_1}=(1,0,0)$。 设 $M$ 是 $BC$ 上一点，且 $\overrightarrow{BM}=\lambda \overrightarrow{BC}=\lambda (-2,2,0)=(-2\lambda ,2\lambda ,0)$ ($0\le \lambda \le 1$)。 则 $M(2-2\lambda ,2\lambda ,0)$。 $\overrightarrow{AM}=(2-2\lambda ,2\lambda +2,0)$。 设平面 $PAM$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$， 则 $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{PA}=-2y-2\sqrt{3}z=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{AM}=(2-2\lambda )x+(2\lambda +2)y=0\end{array}$ 取 $z=1$，则 $y=-\sqrt{3}$，$x=\frac{\sqrt{3}(2\lambda +2)}{2-2\lambda }=\frac{\sqrt{3}(1+\lambda )}{1-\lambda }$。 由二面角 $M-PA-C$ 为 $30^{\circ }$，得 $|\cos ⟨\vec{n},\overrightarrow{n_1}⟩|=\frac{\sqrt{3}}{2}$： $\frac{|\frac{\sqrt{3}(1+\lambda )}{1-\lambda }|}{\sqrt{\frac{3(1+\lambda {)}^2}{(1-\lambda {)}^2}+3+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 平方化简得：$\lambda =\frac{1}{3}$。此时 $\vec{n}=(2\sqrt{3},-\sqrt{3},1)$。 $\overrightarrow{PC}=(0,2,-2\sqrt{3})$。 设 $PC$ 与平面 $PAM$ 所成的角为 $\theta$，则： $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{PC}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{PC}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|0-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}|}{4\cdot 4}=\frac{4\sqrt{3}}{16}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ 所以 $PC$ 与平面 $PAM$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 勾股定理逆定理的妙用：在证明线面垂直时，如果直接找不到垂直线，通过计算边长来验证线线垂直是最常用的“暴力”美学。
2. 法向量的选取：平面 $PAC$ 在 $yOz$ 平面上，其法向量就是 $x$ 轴方向，直接取 $(1,0,0)$ 极大简化了计算。
3. 参数 $\lambda$ 的处理：设 $M$ 坐标时使用分点比例 $\lambda$，不仅符合 $M$ 在线段上的几何限制，也方便后续代数化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个 Checklist：

• 线面角 $\theta$：$\sin \theta =|\cos ⟨\vec{l},\vec{n}⟩|$。
• 二面角 $\varphi$：$\cos \varphi =|\cos ⟨\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}⟩|$（注意判断锐角或钝角）。
• 常见根号值：$\frac{\sqrt{3}}{4}$ 在此类正四面体或三棱锥题目中是高频出现的数值，计算出该值时可增加信心。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 2008-天津卷文-19 解-四棱锥垂直与二面角