2018-全国卷III文-16 填-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性与对称性，以及对数函数的性质。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III文）已知函数 $f(x)=\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+1$, 若 $f(a)=4$, 则 $f(-a)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察函数特征，令 $g(x)=\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)$，研究 $g(x)+g(-x)$ 的和。
2. 利用分母有理化将 $\sqrt{1+x^2}-x$ 转化为 $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}$，从而得出函数具有某种对称性。
3. 结合 $f(a)=4$ 求解 $f(-a)$。

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

设 $g(x)=\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)$，则 $f(x)=g(x)+1$。 考察 $g(x)+g(-x)$： $g(-x)=\ln \left(\sqrt{1+(-x{)}^2}-(-x)\right)=\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)$ 因此： $g(x)+g(-x)=\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)=\ln \left[\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)\right]$ $=\ln \left[(1+x^2)-x^2\right]=\ln 1=0$ 即 $g(-x)=-g(x)$，说明函数 $g(x)$ 是奇函数。 已知 $f(a)=g(a)+1=4⟹g(a)=3$。 要求 $f(-a)$： $f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-3+1=-2$ 答案：$-2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数运算性质、函数奇偶性隐性考察。
2. 核心方法：有理化构造法（配凑互为倒数式）。
3. 避坑指南：形如 $\sqrt{1+x^2}\pm x$ 的式子相乘为 $1$ 是对数化简中的高频经典模型。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数性质综合压轴填空题。
2. 结论推广: 若函数满足 $f(x)+f(-x)=2C$，则其关于点 $(0,C)$ 对称。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性
• 2013-江西卷理-21 解-对称性
• 2014-江苏卷-19 解-函数奇偶性