2018-全国卷III理-14 填-导数运算法则

本题导读

本题考查导数的乘法运算法则，以及导数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III理）曲线 $y=(ax+1)e^x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线的斜率为 $-2$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确几何意义：切线在 $x=0$ 处的斜率 $k=-2$，意味着 $y^{\prime }{|}_{x=0}=-2$。
2. 函数求导：该函数是多项式 $(ax+1)$ 与指数函数 $e^x$ 的乘积，需要使用乘法求导公式 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$。

• 设 $u=ax+1$，$v=e^x$
• 则 $u^{\prime }=a$，$v^{\prime }=e^x$

3. 代入求值：将 $x=0$ 代入导函数 $y^{\prime }$，使其等于 $-2$，解出 $a$。

✅【答案】

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$-3$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $-3$

【解析过程】

1. 对函数求导： $y^{\prime }=(ax+1{)}^{\prime }\cdot e^x+(ax+1)\cdot (e^x{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=a\cdot e^x+(ax+1)e^x$ 整理得：$y^{\prime }=(ax+a+1)e^x$。

2. 利用斜率条件： 由题意知，在 $x=0$ 处的导数值为 $-2$，即 $y^{\prime }{|}_{x=0}=-2$。 将 $x=0$ 代入 $y^{\prime }$： $(a\cdot 0+a+1)e^0=-2$ $(a+1)\cdot 1=-2$

3. 计算结果： $a+1=-2⟹a=-3$

故填入：$-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 求导陷阱：很多同学容易漏掉乘法法则，错误地求导为 $a\cdot e^x$。务必牢记 $(uv{)}^{\prime }$ 的复合结构。
2. 切点验证：题目给出的点 $(0,1)$。习惯上应先验证该点是否在曲线上：当 $x=0$ 时，$y=(a\cdot 0+1)e^0=1$，验证通过。如果点不在曲线上，则需要设切点坐标，解题过程会复杂很多。
3. 指数函数特征：$e^x$ 求导后仍为 $e^x$，且 $e^0=1$，这使得涉及原点的导数计算通常非常简便。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个模型：

• 切线方程：若要求切线方程，公式为 $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$。
• 本题中切线方程为：$y-1=-2(x-0)$，即 $y=-2x+1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-15 填-导数切线存在
• 2013-广东卷理-10 填-切线斜率
• 2014-重庆卷理-20 解-切线斜率