2018-全国卷III理-20 解-点差法

本题导读

本题考查点差法。核心在于点差法、设而不求法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III理）已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 交于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的中点为 $M(1,m)$ ($m>0$).

(1) 证明：$k<-\frac{1}{2}$；

(2) 设 $F$ 为 $C$ 的右焦点，$P$ 为 $C$ 上一点，且 $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FP}=\vec{0}$.证明：$|\overrightarrow{FA}|,|\overrightarrow{FP}|,|\overrightarrow{FB}|$ 成等差数列，并求该数列的公差.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：范围证明

• 使用点差法：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，代入椭圆方程相减，直接得到 $k$ 与中点 $(1,m)$ 的关系：$\frac{1}{4}+\frac{mk}{3}=0⟹k=-\frac{3}{4m}$。
• 约束条件：中点 $M(1,m)$ 必须在椭圆内部，从而得到 $m$ 的范围，进而推导出 $k$ 的范围。

2. 第二问：等差数列与公差

• 向量转化：由 $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FP}=\vec{0}$ 结合中点 $M$，可转化得 $\overrightarrow{FP}=-2\overrightarrow{FM}$。由此求出 $P$ 的坐标和 $m$ 的具体值。
• 焦半径公式：对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，右焦半径 $|AF|=a-e{x}_A$。利用此公式可以极简地证明 $|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|=2|\overrightarrow{FP}|$。
• 公差计算：确定 $k$ 后，联立直线与椭圆，利用韦达定理求出 $|x_1-x_2|$，公差 $d=\frac{1}{2}||\overrightarrow{FA}|-|\overrightarrow{FB}||=\frac{e}{2}|x_1-x_2|$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析（$k<-\frac{1}{2}$）

(2) 证明见解析，公差 $d=\pm \frac{3\sqrt{21}}{28}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明： 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则 $\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1$ ①，$\frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{3}=1$ ②。 ① - ② 得：$\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{4}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{3}=0$。 因为 $M(1,m)$ 是 $AB$ 的中点，所以 $x_1+x_2=2,y_1+y_2=2m$。 代入上式得：$\frac{2}{4}+\frac{2m}{3}\cdot k=0$，解得 $k=-\frac{3}{4m}$。 由于 $M(1,m)$ 在椭圆内部，则 $\frac{1^2}{4}+\frac{m^2}{3}<1$，解得 $0<m<\frac{3}{2}$。 因为 $m<\frac{3}{2}$，所以 $k=-\frac{3}{4m}<-\frac{3}{4\times \frac{3}{2}}=-\frac{1}{2}$。 即 $k<-\frac{1}{2}$。

(2)证明与求解： 由题意 $F(1,0)$。$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=2\overrightarrow{FM}=2(1-1,m-0)=(0,2m)$。 因为 $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FP}=\vec{0}$，所以 $\overrightarrow{FP}=-(0,2m)=(0,-2m)$。 设 $P(x_P,y_P)$，则 $(x_P-1,y_P-0)=(0,-2m)$，得 $x_P=1,y_P=-2m$。 点 $P$ 在椭圆上：$\frac{1^2}{4}+\frac{(-2m{)}^2}{3}=1⟹\frac{4m^2}{3}=\frac{3}{4}⟹m^2=\frac{9}{16}$。 由于 $m>0$，得 $m=\frac{3}{4}$。此时 $P(1,-\frac{3}{2})$，$|\overrightarrow{FP}|=\frac{3}{2}$。 椭圆离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{4-3}}{2}=\frac{1}{2}$。 由焦半径公式：$|\overrightarrow{FA}|=a-e{x}_1=2-\frac{1}{2}{x}_1$，$|\overrightarrow{FB}|=2-\frac{1}{2}{x}_2$。 则 $|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|=4-\frac{1}{2}(x_1+x_2)=4-\frac{1}{2}(2)=3=2|\overrightarrow{FP}|$。 故 $|\overrightarrow{FA}|,|\overrightarrow{FP}|,|\overrightarrow{FB}|$ 成等差数列。

求公差： 当 $m=\frac{3}{4}$ 时，$k=-\frac{3}{4\times \frac{3}{4}}=-1$。 直线 $l$ 方程：$y-\frac{3}{4}=-1(x-1)⟹y=-x+\frac{7}{4}$。 联立 $\{\begin{array}{l}y=-x+\frac{7}{4}\\ 3x^2+4y^2=12\end{array}$ 得 $7x^2-14x+\frac{1}{4}=0$。 则 $x_1+x_2=2,x_1{x}_2=\frac{1}{28}$。 $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{4-\frac{1}{7}}=\sqrt{\frac{27}{7}}=\frac{3\sqrt{21}}{7}$。 公差 $d=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{FB}|-|\overrightarrow{FA}|)=\frac{1}{2}(e{x}_1-e{x}_2)=\frac{1}{4}(x_1-x_2)$（或其相反数）。 故公差 $d=\pm \frac{1}{4}\cdot \frac{3\sqrt{21}}{7}=\pm \frac{3\sqrt{21}}{28}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 点差法 vs 联立方程：第一问如果联立方程再用判别式 $\Delta >0$，计算量会比点差法大得多。在处理“中点”问题时，点差法是第一选择。
2. 焦半径公式的威力：第二问证明等差数列时，若使用两点间距离公式会非常繁琐。利用 $r=a\pm ex$（准线定义法的变形）可以瞬间将长度转化为坐标的线性组合。
3. 向量重心结论：$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ 意味着 $G$ 是 $△ABC$ 的重心。本题中 $F$ 是 $△ABP$ 的重心。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累：

• 结论：若椭圆弦 $AB$ 的中点 $M$ 与焦点 $F$ 构成的向量满足特定比例，通常意味着焦半径之间存在等差或等比关系。
• 计算模板：处理解析几何大题时，先定性（找几何特征），再定量（联立计算）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-08 单-椭圆性质
• 2013-新课标I卷理-10 单-椭圆方程与性质
• 2013-新课标II卷理-20 解-椭圆方程与性质