2013-新课标II卷理-20 解-椭圆方程与性质

本题导读

本题考查椭圆。核心在于点差法、待定系数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） 平面直角坐标系 $xOy$ 中，过椭圆 $M:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 右焦点的直线 $x+y-\sqrt{3}=0$ 交 $M$ 于 $A,B$ 两点，$P$ 为 $AB$ 的中点，且 $OP$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$.

(1)求 $M$ 的方程；

(2)$C,D$ 为 $M$ 上的两点，若四边形 $ACBD$ 的对角线 $CD\perp AB$，求四边形 $ACBD$ 面积的最大值.

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🔍【思路分析】

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• 第一问（求椭圆方程）：
  1. 求 $c$：右焦点坐标为 $(c,0)$，代入直线 $x+y-\sqrt{3}=0$ 即可求得 $c$。
  2. 求 $a,b$ 关系：涉及弦 $AB$ 中点 $P$ 与原点连线斜率，优先考虑点差法。设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，代入方程相减，利用 $k_{AB}\cdot k_{OP}=-\frac{b^2}{a^2}$ 建立 $a,b$ 的比例关系。
  3. 联立 $a^2=b^2+c^2$ 求解。
• 第二问（求面积最大值）：
  1. 求 $|AB|$：联立直线 $AB$ 与椭圆方程，利用弦长公式求得定值。
  2. 分析 $|CD|$：由于 $CD\perp AB$，且 $AB$ 斜率为 $-1$，故可设直线 $CD$ 方程为 $y=x+t$。
  3. 建立面积函数：对角线垂直的四边形面积 $S=\frac{1}{2}|AB|\cdot |CD|$。联立直线 $CD$ 与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式将 $|CD|$ 表示为 $t$ 的函数，并结合判别式确定 $t$ 的取值范围，最后求最大值。

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✅【答案】

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故椭圆 $M$ 的方程为 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$。；故四边形 $ACBD$ 面积的最大值为 $\frac{8}{3}\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 由题意，椭圆右焦点 $(c,0)$ 在直线 $x+y-\sqrt{3}=0$ 上，代入得 $c+0-\sqrt{3}=0$，解得 $c=\sqrt{3}$。

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，中点 $P(x_0,y_0)$。则有： $\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1$ ① $\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1$ ② ① - ② 得：$\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}=0$。 整理得：$\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\cdot \frac{y_1+y_2}{x_1+x_2}=-\frac{b^2}{a^2}$，即 $k_{AB}\cdot k_{OP}=-\frac{b^2}{a^2}$。

已知 $k_{AB}=-1,k_{OP}=\frac{1}{2}$，代入得：$(-1)\cdot \frac{1}{2}=-\frac{b^2}{a^2}⟹a^2=2b^2$。 又 $a^2=b^2+c^2=b^2+3$， 联立得 $2b^2=b^2+3⟹b^2=3,a^2=6$。 故椭圆 $M$ 的方程为 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$。

（Ⅱ）解： 由对角线垂直的性质可知，$S_{ACBD}=\frac{1}{2}|AB|\cdot |CD|$。

1. 计算 $|AB|$： 联立 $\{\begin{array}{l}x+y-\sqrt{3}=0\\ \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}⟹3x^2-4\sqrt{3}x=0$。 解得 $x_1=0,x_2=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。 对应的纵坐标为 $y_1=\sqrt{3},y_2=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。 则 $|AB|=\sqrt{1+(-1{)}^2}\cdot |0-\frac{4\sqrt{3}}{3}|=\sqrt{2}\cdot \frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$。

2. 计算 $|CD|$ 的最大值： 因为 $CD\perp AB$，故设直线 $CD$ 方程为 $y=x+t$。 联立 $\{\begin{array}{l}y=x+t\\ \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}⟹3x^2+4tx+2t^2-6=0$。 判别式 $\Delta =(4t{)}^2-4\cdot 3\cdot (2t^2-6)=72-8t^2>0⟹-3<t<3$。 由韦达定理 $x_3+x_4=-\frac{4t}{3},x_3{x}_4=\frac{2t^2-6}{3}$。 $|CD|=\sqrt{1+1^2}\cdot \sqrt{(x_3+x_4{)}^2-4x_3{x}_4}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{\frac{16t^2}{9}-\frac{8t^2-24}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{18-2t^2}$。

3. 求解面积最大值： $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{4\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{18-2t^2}=\frac{8\sqrt{3}}{9}\sqrt{18-2t^2}$。 当 $t=0$（此时满足条件 $-3<0<3$）时，面积 $S$ 达到最大值： $S_{max}=\frac{8\sqrt{3}}{9}\cdot \sqrt{18}=\frac{8\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{2}}{9}=\frac{8\sqrt{6}}{3}$。

故四边形 $ACBD$ 面积的最大值为 $\frac{8}{3}\sqrt{6}$。

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💡【考点归纳与避坑指南】

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🔗【关联脉络】

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• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷文-21 解-椭圆与圆
• 2014-辽宁卷文-20 解-椭圆方程
• 2014-湖南卷文-06 单-圆与圆