2018-北京卷文-12 填-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及离心率。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷文）若双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}=1(a>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 明确双曲线方程中 $a^2,b^2=4$，进而得到 $c^2=a^2+4$。
2. 利用离心率公式 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+4}}{a}$ 建立方程求解。

✅【答案】

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4

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}=1$ 知 $b^2=4$， 则半焦距 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+4}$。 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+4}}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。 两边平方得：$\frac{a^2+4}{a^2}=\frac{5}{4}$， $4a^2+16=5a^2⟹a^2=16$. 因为 $a>0$，所以 $a=4$。 故答案为：4。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线离心率计算。
2. 核心方法：利用 $c^2=a^2+b^2$ 消元求解。
3. 避坑指南：注意 $a>0$ 的取值限制，负根需舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆锥曲线基础经典题。
2. 结论推广: 熟练掌握椭圆与双曲线中 $a,b,c,e$ 的关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-06 单-双曲线性质
• 2013-大纲卷理-21 解-双曲线性质
• 2013-天津卷理-05 单-双曲线性质