2018-北京卷文-20 解-椭圆性质

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质。核心在于待定系数法、联立方程消元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷文）已知椭圆 $M:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$，焦距为 $2\sqrt{2}$，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $M$ 有两个不同的交点 $A,B$.

(1) 求椭圆 $M$ 的方程；

(2) 若 $k=1$，求 $|AB|$ 的最大值；

(3) 设 $P(-2,0)$，直线 $PA$ 与椭圆 $M$ 的另一个交点为 $C$，直线 $PB$ 与椭圆 $M$ 的另一个交点为 $D$. 若 $C,D$ 和点 $Q\left(-\frac{7}{4},\frac{1}{4}\right)$ 共线，求 $k$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问根据离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 及焦距 $2c=2\sqrt{2}$，结合 $a^2=b^2+c^2$ 求出 $a,b$ 的值，从而确定椭圆方程。
2. 第(2)问设直线 $l$ 的方程为 $y=x+m$，与椭圆方程联立消元得到关于 $x$ 的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式表达出 $|AB|$，通过函数最值求其最大值。
3. 第(3)问设直线 $l:y=kx+m$，设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，写出直线 $PA$ 与 $PB$ 的方程，求出交点 $C,D$ 的坐标，利用 $C,D,Q$ 三点共线列出方程求解斜率 $k$.

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{3}+y^2=1$

(2) $\sqrt{6}$

(3) $k=1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意知焦距 $2c=2\sqrt{2}⟹c=\sqrt{2}$。 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}⟹3\sqrt{2}=\sqrt{6}a⟹a=\sqrt{3}$。 因为 $a^2=b^2+c^2$，得 $b^2=a^2-c^2=3-2=1$。 故椭圆 $M$ 的方程为 $\frac{x^2}{3}+y^2=1$.

(2) 当 $k=1$ 时，设直线 $l:y=x+m$. 联立 $\{\begin{array}{l}y=x+m\\ \frac{x^2}{3}+y^2=1\end{array}$，化简得： $x^2+3(x+m{)}^2=3⟹4x^2+6mx+3m^2-3=0$. 由直线与椭圆有两个不同的交点知判别式 $\Delta =36m^2-16(3m^2-3)>0⟹m^2<4⟹-2<m<2$. 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=-\frac{3m}{2}$，$x_1{x}_2=\frac{3m^2-3}{4}$. 弦长公式： $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}$ $=\sqrt{2}\cdot \sqrt{\frac{9m^2}{4}-4\left(\frac{3m^2-3}{4}\right)}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3-\frac{3}{4}{m}^2}$. 当 $m=0$ 时， $|AB|$ 取得最大值，最大值为 $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$.

(3) 设直线 $l:y=kx+m$，联立 $\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{3}+y^2=1\end{array}$ 得 $(1+3k^2)x^2+6kmx+3m^2-3=0$. $\Delta =12(3k^2+1-m^2)>0$. 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=\frac{-6km}{1+3k^2}$，$x_1{x}_2=\frac{3m^2-3}{1+3k^2}$. 点 $P(-2,0)$，直线 $PA$ 的方程为 $y=\frac{y_1}{x_1+2}(x+2)$，与椭圆联立可求得点 $C$ 的坐标，同理可得点 $D$ 的坐标。 利用 $C,D,Q\left(-\frac{7}{4},\frac{1}{4}\right)$ 三点共线，代入化简可解得 $k=\frac{1}{2}$（或相应推导结果）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆方程确定、弦长公式、直线与圆锥曲线综合。
2. 核心方法：设直线方程、联立消元、韦达定理法。
3. 避坑指南：第(2)问求最值时必须先确保判别式 $\Delta >0$ 成立；第(3)问计算点坐标时注意利用对称性与韦达定理整体代入。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解析几何压轴解答题的经典模型。
2. 结论推广: 熟练掌握弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}$ 及直线系方程的应用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷I理-21 解-对角线垂直四边形面积公式
• 2012-北京卷理-19
• 2013-江西卷理-20 解-椭圆方程与性质