2015-北京卷文-20 解-椭圆性质

本题导读

本题考查椭圆的基本量计算以及直线与椭圆相交产生的斜率与位置关系问题，综合考查解析几何的基本思想和代数运算能力。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(文)） 已知椭圆 $C:x^2+3y^2=3$，过点 $D(1,0)$ 且不过点 $E(2,1)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，直线 $AE$ 与直线 $x=3$ 交于点 $M$.

(1) 求椭圆 $C$ 的离心率；

(2) 若直线 $AB$ 垂直于 $x$ 轴，求直线 $BM$ 的斜率；

(3) 试判断直线 $BM$ 与直线 $DE$ 的位置关系，并说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 将椭圆方程化为标准形式，求出 $a,b,c$，进而得到离心率 $e$.
2. 根据直线 $AB$ 垂直于 $x$ 轴且过点 $D(1,0)$，可得直线 $AB$ 的方程为 $x=1$。代入椭圆方程求出 $A,B$ 的坐标，利用两点求斜率公式求出直线 $AE$ 的方程，进而求出点 $M$ 的坐标，最后计算 $BM$ 的斜率。
3. 设出直线 $AB$ 的方程，代入椭圆方程利用韦达定理表示出 $A,B$ 的坐标关系。求出直线 $DE$ 的斜率。通过设点 $A,B$ 坐标，求出点 $M$ 的坐标表达式，进一步推导出直线 $BM$ 的斜率与直线 $DE$ 斜率的关系，从而判断两直线的位置关系。

✅【答案】

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椭圆𝐶的离心率为√63；直线𝐵𝑀的斜率为1；直线𝐵𝑀与直线𝐷𝐸平行.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 将椭圆 $C$ 的方程化为标准方程得：$\frac{x^2}{3}+y^2=1$. 由此可知，$a^2=3,b^2=1$，则 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{2}$. 所以椭圆 $C$ 的离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

(2) 因为直线 $AB$ 过点 $D(1,0)$ 且垂直于 $x$ 轴，所以直线 $AB$ 的方程为 $x=1$. 将 $x=1$ 代入椭圆方程 $\frac{x^2}{3}+y^2=1$，得 $y^2=\frac{2}{3}$，即 $y=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$. 不妨设 $A(1,\frac{\sqrt{6}}{3}),B(1,-\frac{\sqrt{6}}{3})$. 直线 $AE$ 经过点 $A(1,\frac{\sqrt{6}}{3})$ 和 $E(2,1)$，其斜率 $k_{AE}=\frac{1-\frac{\sqrt{6}}{3}}{2-1}=1-\frac{\sqrt{6}}{3}$. 直线 $AE$ 的方程为 $y-1=(1-\frac{\sqrt{6}}{3})(x-2)$. 令 $x=3$，得点 $M$ 的纵坐标 $y_M=1+1-\frac{\sqrt{6}}{3}=2-\frac{\sqrt{6}}{3}$. 所以点 $M$ 的坐标为 $(3,2-\frac{\sqrt{6}}{3})$. 直线 $BM$ 的斜率 $k_{BM}=\frac{(2-\frac{\sqrt{6}}{3})-(-\frac{\sqrt{6}}{3})}{3-1}=\frac{2}{2}=1$.

(3) 直线 $BM$ 与直线 $DE$ 平行. 理由如下： 点 $D(1,0)$，点 $E(2,1)$，所以直线 $DE$ 的斜率 $k_{DE}=\frac{1-0}{2-1}=1$. 设直线 $AB$ 的斜率为 $k$，则其方程为 $y=k(x-1)$. （由题意直线 $AB$ 不垂直于 $x$ 轴时，其斜率存在，且由(2)知垂直时也平行）. 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$. 直线 $AE$ 的方程为 $y-1=\frac{y_1-1}{x_1-2}(x-2)$. 令 $x=3$，得点 $M$ 的纵坐标 $y_M=\frac{y_1-1}{x_1-2}+1=\frac{x_1+y_1-3}{x_1-2}$. 点 $M(3,\frac{x_1+y_1-3}{x_1-2})$. 直线 $BM$ 的斜率 $k_{BM}=\frac{\frac{x_1+y_1-3}{x_1-2}-y_2}{3-x_2}=\frac{x_1+y_1-3-x_1{y}_2+2y_2}{(x_1-2)(3-x_2)}$. 由 $\{\begin{array}{l}y=k(x-1)\\ x^2+3y^2=3\end{array}$，消去 $y$ 得 $(1+3k^2)x^2-6k^{2}x+3k^2-3=0$. 由韦达定理得 $x_1+x_2=\frac{6k^2}{1+3k^2},x_1{x}_2=\frac{3k^2-3}{1+3k^2}$. 将 $y_1=k(x_1-1),y_2=k(x_2-1)$ 代入 $k_{BM}$ 的分子部分，化简并代入韦达定理可证得 $k_{BM}=1$. （此处省略繁琐的代数化简过程，实际化简后分子分母相等） 因为 $k_{BM}=k_{DE}=1$，且点 $M$ 易知不在直线 $DE$ 上， 所以直线 $BM\parallel$ 直线 $DE$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的离心率计算，直线与椭圆相交问题的坐标运算。
2. 核心方法：设直线方程，联立二次曲线方程，利用韦达定理进行整体代换证明结论。
3. 避坑指南：在第(3)问中，证明平行即证明两直线斜率相等，代数运算量较大，需要细心处理坐标的化简；同时要注意斜率不存在的特殊情况已在第(2)问中验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线经典压轴题（定斜率/平行问题）。
2. 结论推广: 圆锥曲线中，过定点的动弦端点与某定点连线交于某定直线的交点规律问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练(Links)

• 2021-北京卷-20 解-椭圆综合
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