2018-北京卷理-07 单-点到直线距离

本题导读

本题考查点到直线的距离公式，以及三角函数的辅助角公式。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷理）在平面直角坐标系中，记 $d$ 为点 $P(\cos \theta ,\sin \theta )$ 到直线 $x-my-2=0$ 的距离.当 $\theta ,m$ 变化时，$d$ 的最大值为()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析点 $P$：点 $P(\cos \theta ,\sin \theta )$ 的坐标满足 $x^2+y^2=1$，说明点 $P$ 在以原点为圆心的单位圆上。
2. 分析直线：直线 $l:x-my-2=0$。注意到当 $y=0$ 时，$x=2$，即直线 $l$ 恒过定点 $A(2,0)$。
3. 计算距离 $d$：利用点到直线的距离公式： $d=\frac{|\cos \theta -m\sin \theta -2|}{\sqrt{1+m^2}}$
4. 求最值：

• 方法一（几何法）：距离 $d$ 等于圆上的点到直线的距离。$d_{max}=\text{圆心到直线的距离}+\text{半径}$。圆心 $O(0,0)$ 到直线 $x-my-2=0$ 的距离 $d_0=\frac{|-2|}{\sqrt{1+m^2}}$。当 $m=0$ 时，$d_0$ 取得最大值 $2$。此时 $d_{max}=2+1=3$。
• 方法二（代数法）：利用辅助角公式合并 $\cos \theta -m\sin \theta$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】 根据点到直线的距离公式： $d=\frac{|\cos \theta -m\sin \theta -2|}{\sqrt{1+m^2}}$ 分子部分利用辅助角公式进行变形： $\cos \theta -m\sin \theta =\sqrt{1+m^2}\sin (\theta +\varphi )$ 其中 $\varphi$ 是与 $m$ 相关的常数。则： $d=\frac{|\sqrt{1+m^2}\sin (\theta +\varphi )-2|}{\sqrt{1+m^2}}$ $d=\left|\sin (\theta +\varphi )-\frac{2}{\sqrt{1+m^2}}\right|$ 要使 $d$ 最大，需要 $\sin (\theta +\varphi )$ 与 $\frac{2}{\sqrt{1+m^2}}$ 符号相反且绝对值尽可能大。

1. $\sin (\theta +\varphi )$ 的取值范围是 $[-1,1]$。
2. $\frac{2}{\sqrt{1+m^2}}$ 的取值范围是 $(0,2]$（当 $m=0$ 时取得最大值 $2$）。

当 $m=0$ 且 $\sin (\theta +\varphi )=-1$ 时： $d=|-1-2|=3$ 此时 $d$ 取得最大值 3。

对照选项，正确答案为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 数形结合的直观性：将点 $P$ 看作圆上的动点，直线看作过定点 $(2,0)$ 的动直线。圆上点到直线的最大距离一定是“心到直线距离 + 半径”。本题直线的斜率 $1/m$ 可以变化，当直线垂直于 $x$ 轴（即 $m=0$）时，直线距离原点最远（距离为2），此时加上半径 1，最大值即为 3。
2. 公式变形的严谨性：代数法虽然稍显抽象，但在处理多变量最值时逻辑更严密。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结这个高频模型：

• 圆上点到直线距离：$d\in [d_0-r,d_0+r]$，其中 $d_0$ 是圆心到直线的距离。
• 动直线与圆：如果直线绕定点旋转，圆心到直线的最大距离等于圆心到定点的距离。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-福建卷理-21B
• 2013-四川卷文-05 单-抛物线焦点距离
• 2013-福建卷文-04 单-双曲线渐近线距离