2018-天津卷文-06 单-正弦型函数

本题导读

本题考查正弦型函数的图象变换，以及正弦型函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷文）将函数 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{10}$ 个单位长度，所得图象对应的函数 ()

A. 在区间 $\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$ 上单调递增　　B. 在区间 $\left[-\frac{\pi }{4},0\right]$ 上单调递减

C. 在区间 $\left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递增　　D. 在区间 $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 上单调递减

🔍【思路分析】

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1. 利用三角函数图象“左加右减”的平移法则，求出平移后的解析式。
2. 令平移后的自变量整体代入正弦函数的单调区间公式进行求解验证。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

将函数 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{10}$ 个单位长度， 得到函数： $y=\sin \left[2\left(x-\frac{\pi }{10}\right)+\frac{\pi }{5}\right]=\sin \left(2x-\frac{\pi }{5}+\frac{\pi }{5}\right)=\sin 2x$ 对于函数 $y=\sin 2x$，令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x\le \frac{\pi }{2}+2k\pi$ ($k\in \mathbf{Z}$)， 解得单调递增区间为： $-\frac{\pi }{4}+k\pi \le x\le \frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 当 $k=0$ 时，单调递增区间为 $\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$。 故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数平移变换、正弦函数的单调性。
2. 核心方法：整体代换法。
3. 避坑指南：平移时注意系数对横坐标的影响，必须对自变量整体减去平移量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考三角函数图象与性质的常规考查题。
2. 结论推广: $y=\sin (\omega x+\phi )$ 的图象平移变换要优先提取 $x$ 的系数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-17 解-三角化简值域
• 2010-山东卷文-17 解-三角周期与最值
• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性