2018-天津卷文-11 填-几何体体积

本题导读

本题考查空间几何体的体积，以及棱锥的体积公式。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷文）如图，已知正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱长为 $1$，则四棱锥 $A_1-B{B}_1{D}_{1}D$ 的体积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 确定四棱锥的底面与高，底面为矩形 $B{B}_1{D}_{1}D$。
2. 计算底面矩形的面积以及顶点到该平面的距离，代入棱锥体积公式求解。

✅【答案】

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$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，对角面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 是一个长为 $\sqrt{2}$、宽为 $1$ 的矩形，其面积为： $S_{B{B}_1{D}_{1}D}=1\times \sqrt{2}=\sqrt{2}$ 顶点 $A_1$ 到平面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 的距离即为点 $A$ 到对角线 $BD$ 的距离，大小为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。 因此，四棱锥 $A_1-B{B}_1{D}_{1}D$ 的体积为： $V=\frac{1}{3}{S}_{B{B}_1{D}_{1}D}\cdot h=\frac{1}{3}\times \sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{3}$ 答案：$\frac{1}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：棱锥体积公式、空间点到平面的距离。
2. 核心方法：选择合适的底面进行体积转化。
3. 避坑指南：准确识别对角面的形状及其几何特征。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 立体几何中经典的体积计算题。
2. 结论推广: 不规则几何体或特殊位置的棱锥体积常通过转换底面来简化计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积
• 2013-广东卷文-06 单-三视图体积
• 2014-上海卷文-19 解-正四面体展开