2018-天津卷文-15 解-抽样方法

本题导读

本题考查分层抽样。核心在于比例分配法、列举法与公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷文）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 $240,160,160$. 现采用分层抽样的方法从中抽取 $7$ 名同学去某敬老院参加献爱心活动.

(1) 应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(2) 设抽出的 $7$ 名同学分别用 $A,B,C,D,E,F,G$ 表示，现从中随机抽取 $2$ 名同学承担敬老院的卫生工作. ① 试用所给字母列举出所有的抽取结果； ② 设 $M$ 为事件“抽取的 $2$ 名同学来自同一年纪”，求事件 $M$ 发生的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用分层抽样的比例求出各层应抽取的人数。
2. 利用组合数公式计算总抽取结果数及同一年级抽取结果数，进而求出古典概型概率。

✅【答案】

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(1) 甲、乙、丙分别抽取 $3$、$2$、$2$ 人

(2)(i) 共 $21$ 种

(2)(ii) $P(M)=\frac{5}{21}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 三个年级的志愿者总人数为 $240+160+160=560$。 抽样比为 $\frac{7}{560}=\frac{1}{80}$。

• 从甲年级抽取：$240\times \frac{1}{80}=3$（人）；
• 从乙年级抽取：$160\times \frac{1}{80}=2$（人）；
• 从丙年级抽取：$160\times \frac{1}{80}=2$（人）。 即应从甲、乙、丙三个年级分别抽取 $3$ 人、$2$ 人、$2$ 人。

(2) 设甲年级抽出的 $3$ 人为 $A,B,C$，乙年级抽出的 $2$ 人为 $D,E$，丙年级抽出的 $2$ 人为 $F,G$。 ① 从 $7$ 名同学中随机抽取 $2$ 名同学的所有可能结果共有 $C_7^2=21$ 种，具体列举如下： $(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G)$。

② 事件 $M$ 表示“抽取的 $2$ 名同学来自同一年级”。

• 若来自甲年级，有 $C_3^2=3$ 种：$(A,B),(A,C),(B,C)$；
• 若来自乙年级，有 $C_2^2=1$ 种：$(D,E)$；
• 若来自丙年级，有 $C_2^2=1$ 种：$(F,G)$。 因此事件 $M$ 包含的基本事件总数为 $3+1+1=5$ 种。 故事件 $M$ 发生的概率为 $P(M)=\frac{5}{21}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分层抽样、古典概型、组合数计算。
2. 核心方法：列举法与分类计数。
3. 避坑指南：计算古典概型时，分母为总抽取数，分子为满足条件的结果数，注意不重不漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考统计与概率板块的基础解答题。
2. 结论推广: 分层抽样中各层抽取人数之比等于各层总体人数之比。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2010-广东卷文-17 解-分层抽样古典概型
• 2010-湖南卷文-17 解-分层抽样与概率
• 2000-上海卷理-10 填-古典概型