2010-广东卷文-17 解-分层抽样古典概型

本题导读

考查统计与概率。收看新闻节目共 45 人（18 人 20-40 岁、27 人大于 40 岁），抽取 5 名时大于 40 岁应抽 $5\times \frac{27}{45}=3$ 名，20-40 岁抽 2 名。从 5 人中任取 2 名，恰有 1 名 20-40 岁的概率 $P=\frac{C_2^1{C}_3^1}{C_5^2}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(文)） 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了 100 名电视观众，相关的数据如下表所示：

	文艺节目	新闻节目	总计
20 到 40 岁	40	18	58
大于 40 岁	15	27	42
总计	55	45	100

(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？

(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名，大于 40 岁的观众应该抽取几名？

(3)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名，求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）比较两类人群中收看新闻节目的比例判断是否有关。 2.（2）分层抽样按同一比例：抽取数 $=$ 该类人数 $\times$ 抽样比。 3.（3）先确定 5 人中两类各几名，再用组合数求概率。

✅【答案】

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(1) 有关

(2) 3 名

(3) $\frac{3}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）收看新闻节目的观众中，20 到 40 岁的占 $\frac{18}{58}\approx 31\%$，大于 40 岁的占 $\frac{27}{42}\approx 64\%$，两比例明显不同，故收看新闻节目的观众与年龄有关. （2）收看新闻节目的观众共 45 人，其中大于 40 岁的 27 人，抽样比为 $\frac{5}{45}=\frac{1}{9}$，故大于 40 岁的应抽取 $27\times \frac{5}{45}=3\text{名}.$ （3）在抽取的 5 名观众中，20 至 40 岁的有 2 名，大于 40 岁的有 3 名. 从 5 人中任取 2 人共 $C_5^2=10$ 种；恰有 1 名 20 至 40 岁即”1 名来自 2 人、1 名来自 3 人”，共 $C_2^1{C}_3^1=6$ 种. 故所求概率 $P=\frac{C_2^1{C}_3^1}{C_5^2}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分层抽样与古典概型

核心方法：抽样比 $\frac{5}{45}=\frac{1}{9}$，大于 40 岁抽 $27\times \frac{1}{9}=3$ 名；概率 $\frac{C_2^1{C}_3^1}{C_5^2}=\frac{3}{5}$

避坑指南：分层抽样只在”收看新闻节目”的 45 人里抽，不是全体 100 人；“恰有 1 名”是 $C_2^1{C}_3^1$ 不是 $C_5^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：统计概率大题：先分层抽样定人数，再用组合数求概率。

结论推广：抽样比 $k=\frac{\text{样本量}}{\text{总体量}}$ 各层一致；组合数 $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$。

方法推广：先锁定抽取范围（哪个子总体），再分”恰有/至少”用组合数分别计数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-12 填-系统与分层抽样
• 2009-山东卷文-19 解-分层抽样与概率
• 2011-广东卷文-17 解-标准差与古典概型
• 2012-山东卷文-18 解-古典概型分类计数