2018-天津卷理-04 单-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法，以及一元三次不等式的性质。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷理）设 $x\in \mathbb{R}$，则 “$|x-\frac{1}{2}|<\frac{1}{2}$” 是 “$x^3<1$” 的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分而不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解绝对值不等式： $|x-\frac{1}{2}|<\frac{1}{2}⟺-\frac{1}{2}<x-\frac{1}{2}<\frac{1}{2}$。 通过移项解出 $x$ 的取值范围，记为集合 $P$。
2. 解三次不等式： 根据幂函数 $y=x^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增的性质，$x^3<1⟺x<1$。 记该取值范围为集合 $Q$。
3. 判断集合包含关系：

• 若 $P⊊Q$，则 $P$ 是 $Q$ 的充分不必要条件。
• 若 $Q⊊P$，则 $P$ 是 $Q$ 的必要不充分条件。
• 若 $P=Q$，则为充要条件。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 解不等式 $|x-\frac{1}{2}|<\frac{1}{2}$： 由绝对值定义得：$-\frac{1}{2}<x-\frac{1}{2}<\frac{1}{2}$ 各边同时加上 $\frac{1}{2}$，得 $0<x<1$。 所以集合 $P=\{x\mid 0<x<1\}$。
2. 解不等式 $x^3<1$： 由于函数 $y=x^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，且 $1^3=1$， 所以 $x^3<1⟺x<1$。 所以集合 $Q=\{x\mid x<1\}$。
3. 比较集合： 显然，$P=(0,1)$，而 $Q=(-\infty ,1)$。 因为 $P⊊Q$， 所以由 $x\in P$ 可以推导出 $x\in Q$，即充分性成立； 但由 $x\in Q$ 不能推导出 $x\in P$（例如当 $x=-1$ 时，满足 $x^3<1$ 但不满足 $|x-\frac{1}{2}|<\frac{1}{2}$），即必要性不成立。

故 “$|x-\frac{1}{2}|<\frac{1}{2}$” 是 “$x^3<1$” 的 充分而不必要条件。

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 小范围推大范围：这是判断充分必要条件最直观的口诀。集合越小，限制越多，条件越“充分”。
2. 幂函数单调性：对于 $x^n<a$，若 $n$ 为奇数，可直接开方；若 $n$ 为偶数，则需讨论绝对值。
3. 易错提醒：在解绝对值不等式 $|x-a|<r$ 时，结果是关于 $a$ 对称的区间 $(a-r,a+r)$，务必计算准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2002-新课标理-04 单-绝对值不等式
• 2002-苏豫粤卷-03 单-绝对值不等式
• 2008-浙江卷文-03 单-充要条件判定