2008-浙江卷文-03 单-充要条件判定

本题导读

本题判断 $a^2>b^2$ 与 $a>b$ 的推出关系：两边都举出反例，说明互不推出，得”既不充分也不必要”。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(文)） 已知 $a$，$b$ 都是实数，那么"$a^2>b^2$"是"$a>b$"的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 检验 $a^2>b^2\Rightarrow a>b$ 是否成立：取 $a=-2$，$b=1$ 得 $a^2>b^2$ 但 $a<b$，故不充分。
2. 检验 $a>b\Rightarrow a^2>b^2$ 是否成立：取 $a=1$，$b=-2$ 得 $a>b$ 但 $a^2<b^2$，故不必要。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

取 $a=-2$，$b=1$，则 $a^2=4>1=b^2$，但 $a=-2<1=b$，说明 $a^2>b^2$ 推不出 $a>b$； 取 $a=1$，$b=-2$，则 $a=1>-2=b$，但 $a^2=1<4=b^2$，说明 $a>b$ 推不出 $a^2>b^2$。 因此两个条件互不推出，"$a^2>b^2$"是"$a>b$"的既不充分也不必要条件，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分条件与必要条件的判定

核心方法：两个方向各举一个反例排除

避坑指南：实数的平方与大小无单调关系，$a^2>b^2$ 与 $a>b$ 互不推出；举反例要代具体数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 浙江卷文第 2 题、2010 江西文第 1 题同考充要条件。

结论推广：充要条件判定双向各检验，一个反例即可否定一个方向。

方法推广：涉及平方、绝对值的命题，先想”负数平方大但本身小”的反例。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-06 单-充要条件判定
• 2009-浙江卷文-02 单-充分必要条件
• 2009-安徽卷文-04 单-充分必要条件
• 2010-江西卷文-01 单-不等式与充要条件