2018-天津卷理-05 单-对数函数

本题导读

本题考查对数函数的单调性，以及对数的换底公式与性质。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷理）已知 $a={\log }_{2}e$，$b=\ln 2$，$c={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}$，则 $a,b,c$ 的大小关系为()

A. $a>b>c$　　B. $b>a>c$　　C. $c>b>a$　　D. $c>a>b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一底数或观察性质：

• 对于 $a={\log }_{2}e$：因为 $e\approx 2.718>2$，根据对数函数 $y={\log }_{2}x$ 的单调递增性，可知 $a>{\log }_{2}2=1$。
• 对于 $b=\ln 2$：$\ln 2$ 即 ${\log }_{e}2$。因为 $e\approx 2.718>2$，根据对数函数 $y={\log }_{e}x$ 的单调递增性，可知 $b<{\log }_{e}e=1$。且由于 $2>1$，故 $b>0$。即 $0<b<1$。
• 对于 $c={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}$：利用换底公式或对数性质化简，${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}=\frac{{\log }_2\frac{1}{3}}{{\log }_2\frac{1}{2}}=\frac{-{\log }_{2}3}{-1}={\log }_{2}3$。

2. 局部精细比较：

• 比较 $a$ 和 $c$：$a={\log }_{2}e$，$c={\log }_{2}3$。因为 $3>e\approx 2.718$，且基数 $2>1$，所以 ${\log }_{2}3>{\log }_{2}e$，即 $c>a$。
• 结合前一步：$c>a>1$ 且 $0<b<1$。

3. 得出结论：$c>a>b$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

1. 对 $c$ 进行变形： $c={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}={\log }_{2^{-1}}{3}^{-1}={\log }_{2}3$。
2. 比较 $a$ 与 $c$： 因为 $a={\log }_{2}e$，$c={\log }_{2}3$，基数 $2>1$，且 $3>e\approx 2.718$， 所以 ${\log }_{2}3>{\log }_{2}e>{\log }_{2}2$，即 $c>a>1$。
3. 比较 $b$ 与 $1$： 因为 $b=\ln 2={\log }_{e}2$，基数 $e>1$，且 $2<e$， 所以 $0<{\log }_{e}2<{\log }_{e}e$，即 $0<b<1$。
4. 综合以上结果： $c>a>1>b$，即 $c>a>b$。

故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 对数运算性质：掌握 ${\log }_{a^n}{b}^m=\frac{m}{n}{\log }_{a}b$ 可以快速化简复杂的对数底数，将其转化为常用基数（如 2 或 10）。
2. 中间值法：在比较大小时，优先看正负（与 0 比较），其次看是否大于 1。这能快速排除部分错误选项。
3. 换底公式的倒数关系：注意 ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$。本题中 $a={\log }_{2}e$ 与 $b=\ln 2$ 互为倒数。由于 $a>1$，其倒数 $b$ 必然小于 1，这也是一种极快的判断方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

在笔记中可以记录这个“底大图低”的规律：

• 当底数 $a>1$ 时，底数越大，函数图象越靠近 $x$ 轴。
• 常用近似值辅助：$\ln 2\approx 0.693,\ln 3\approx 1.098,{\log }_{2}3\approx 1.585$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2020-全国卷I理-12 单-指数对数综合
• 1977-天津-01(2)
• 1978-全国卷-04