2020-全国卷I理-12 单-指数对数综合

本题导读

本题考查对数的换底公式与性质。核心在于同构法、特殊值排除法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(理)）12. 若 $2^a+{\log }_{2}a=4^b+2{\log }_{4}b$，则（ ）

A. $a>2b$　　　　B. $a<2b$　　　　C. $a>b^2$　　　　D. $a<b^2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 变形同构： 观察等式左边：$2^a+{\log }_{2}a$。 观察等式右边：$4^b+2{\log }_{4}b$。 我们需要将右边化为以 2 为底的形式：

• $4^b=(2^2{)}^b=2^{2b}$。
• $2{\log }_{4}b=2\cdot \frac{{\log }_{2}b}{{\log }_{2}4}=2\cdot \frac{{\log }_{2}b}{2}={\log }_{2}b$。 此时原等式变为：$2^a+{\log }_{2}a=2^{2b}+{\log }_{2}b$。

2. 构造函数： 设 $f(x)=2^x+{\log }_{2}x$。显然 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上是单调递增的。 原等式可看作：$f(a)=2^{2b}+{\log }_{2}b$。

3. 寻找关联： 注意到等式右边是 $2^{2b}+{\log }_{2}b$，而 $f(2b)=2^{2b}+{\log }_2(2b)=2^{2b}+{\log }_{2}b+1$。 因此：$f(2b)=f(a)+1⟹f(2b)>f(a)$。

4. 排除法处理 C、D： 对于涉及 $b^2$ 的选项，通常可以通过取特殊的 $b$ 值来快速验证。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 等式同构化： 由 $2{\log }_{4}b=2\cdot \frac{{\log }_{2}b}{2}={\log }_{2}b$，及 $4^b=2^{2b}$， 原式化为：$2^a+{\log }_{2}a=2^{2b}+{\log }_{2}b$。

2. 利用单调性比较 $a$ 与 $2b$： 令 $f(x)=2^x+{\log }_{2}x$，该函数在定义域内单调递增。 则有 $f(a)=2^{2b}+{\log }_{2}b$。 计算 $f(2b)$： $f(2b)=2^{2b}+{\log }_2(2b)=2^{2b}+{\log }_{2}b+1$。 显然，$f(2b)=f(a)+1$，即 $f(2b)>f(a)$。 由单调递增性质得：$2b>a$，即 $a<2b$。故 B 正确，A 错误。

3. 排除 C、D 选项： 取 $b=1$，则 $2^a+{\log }_{2}a=2^{2\times 1}+{\log }_{2}1=4$。 此时 $f(1)=2^1+0=2<4$， $f(2)=2^2+1=5>4$。 由单调性知 $1<a<2$，此时 $a>b^2$ ($a>1$)。 取 $b=2$，则 $2^a+{\log }_{2}a=2^{2\times 2}+{\log }_{2}2=17$。 此时 $b^2=4$，$f(4)=2^4+{\log }_{2}4=16+2=18>17$。 由单调性知 $a<4$，即 $a<b^2$。 由于 $a$ 与 $b^2$ 的大小关系随 $b$ 的取值而改变，故 C、D 错误。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 同构法的精髓： 看到指数和对数混合时，优先寻找 $x$ 与 $\log x$ 或 $a^x$ 与 $x$ 的对应关系。本题的难点在于右边不是标准的 $f(2b)$，而是比 $f(2b)$ 小了 1。
• 对数运算基本功： ${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$ 是非常实用的提速公式。
• 特殊值法的妙用： 在压轴选择题中，如果无法直接证明两个变量的关系，代入简单的整数（如 1, 2）通常能快速排除错误选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

在导数大题中，这种思路常被称为“隐零点”或“同构变形”。例如证明 $e^{x-1}-\ln x\ge 1$，可以变形为 $e^{x-1}+(x-1)\ge \ln x+x$，从而构造 $g(t)=e^t+t$ 进行单调性分析。掌握了这一套路，能解决一大类指数对数比较问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2006-上海卷理-22 解-复杂多元函数的单调性应用
• 2006-北京卷理-05 单-一次函数的单调性
• 2007-陕西卷理-11 单-导数不等式构造函数法