2018-天津卷理-13 填-基本不等式

本题导读

本题考查基本不等式，以及指数运算性质。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷理）已知 $a,b\in \mathbb{R}$，且 $a-3b+6=0$，则 $2^a+\frac{1}{8^b}$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一底数：将待求式中的底数统一。$8^b=(2^3{)}^b=2^{3b}$，所以 $\frac{1}{8^b}=2^{-3b}$。
2. 寻找定值条件：已知 $a-3b+6=0$，即 $a-3b=-6$。
3. 应用基本不等式：

• 待求式为 $2^a+2^{-3b}$。由于指数函数值恒大于 0，满足“一正”。
• 两项乘积为 $2^a\cdot 2^{-3b}=2^{a-3b}$。由已知条件可知 $a-3b$ 是定值，满足“二定”。

4. 计算最值：套用公式 $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ 求解。
5. 验证等号：检查 $2^a=2^{-3b}$ 是否有实数解 $a,b$ 满足已知条件，满足“三相等”。

✅【答案】

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$\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{1}{4}$

【解析过程】

1. 化简待求式： $2^a+\frac{1}{8^b}=2^a+2^{-3b}$
2. 利用基本不等式： 因为 $2^a>0$ 且 $2^{-3b}>0$，由基本不等式得： $2^a+2^{-3b}\ge 2\sqrt{2^a\cdot 2^{-3b}}=2\sqrt{2^{a-3b}}$
3. 代入已知条件： 由 $a-3b+6=0$ 得 $a-3b=-6$。 将其代入上式： $2^a+2^{-3b}\ge 2\sqrt{2^{-6}}=2\cdot 2^{-3}=2\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{4}$
4. 检验等号成立条件： 当且仅当 $2^a=2^{-3b}$ 时等号成立，即 $a=-3b$。 联立 $\{\begin{array}{l}a=-3b\\ a-3b=-6\end{array}$，解得 $\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=1\end{array}$。 方程组有解，故最小值可以取得。

故填入：$\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 基本不等式的三个前提：正、定、等。

• 正：在本题中由指数函数的性质 $a^x>0$ 保证。
• 定：通过底数统一化，使指数相加正好匹配已知条件。
• 等：务必验证 $a$ 和 $b$ 是否有实数解。

2. 运算技巧：看到 $2^a$ 和 $8^b$ 时，应敏锐察觉到 $2$ 和 $8$ 的幂次关系。

🚀 【下一步建议】 需要我继续为你录入 第 14 题（函数与导数压轴填空） 的解析代码吗？该题通常是天津卷填空部分的难点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷文-07 单-指数和取值范围
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式
• 2008-江苏卷-11 填-条件最值消元