2018-天津卷理-14 填-分段函数

本题导读

本题考查分段函数的性质，以及方程根的个数与函数图象交点。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷理）已知 $a>0$，函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2ax+a,& x\le 0\\ -x^2+2ax-2a,& x>0\end{array}$.若关于 $x$ 的方程 $f(x)=ax$ 恰有 2 个互异的实数解，则 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分段讨论方程： 将方程 $f(x)=ax$ 拆分为两个区间进行讨论。

• 当 $x\le 0$ 时，$x^2+2ax+a=ax⟹x^2+ax+a=0$。
• 当 $x>0$ 时，$-x^2+2ax-2a=ax⟹x^2-ax+2a=0$。

2. 参变分离： 由于 $a>0$，可以将 $a$ 分离出来，构造出关于 $x$ 的函数 $g(x)=a$。

• $x\le 0$ 时，$a(x+1)=-x^2$。注意到 $x=-1$ 不是解，得 $a=\frac{-x^2}{x+1}$。
• $x>0$ 时，$a(x-2)=x^2$。注意到 $x=2$ 不是解，得 $a=\frac{x^2}{x-2}$。

3. 分析函数 $g(x)$ 的性状： 利用基本不等式或导数分析 $g(x)$ 在各段上的值域。

• 第一段：$g(x)=\frac{-x^2}{x+1}$ ($x\le 0,x\ne -1$)。通过配凑变形为对勾函数形式。
• 第二段：$g(x)=\frac{x^2}{x-2}$ ($x>0,x\ne 2$)。

4. 数形结合： 画出 $y=g(x)$ 的图象，观察直线 $y=a$ 与图象恰有 2 个交点时，$a$ 的水平高度范围。

✅【答案】

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$(4,8)$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $(4,8)$

【解析过程】

1. 参变分离构造函数： 由 $f(x)=ax$ 得：

• 若 $x\le 0$，$a=\frac{-x^2}{x+1}$。令 $g_1(x)=\frac{-(x+1-1{)}^2}{x+1}=-(x+1)-\frac{1}{x+1}+2$。
  • 当 $x<-1$ 时，$x+1<0$，由基本不等式 $-(x+1)+\frac{1}{-(x+1)}\ge 2$，得 $g_1(x)\ge 2+2=4$。当 $x=-2$ 时取等号。
  • 当 $-1<x\le 0$ 时，$g_1(x)$ 随 $x$ 增大而减小，$g_1(0)=0$。此段范围为 $(-\infty ,0]$。
• 若 $x>0$，$a=\frac{x^2}{x-2}$。令 $g_2(x)=\frac{(x-2+2{)}^2}{x-2}=x-2+\frac{4}{x-2}+4$。

  • 当 $x>2$ 时，$x-2>0$，由基本不等式 $g_2(x)\ge 2\sqrt{4}+4=8$。当 $x=4$ 时取等号。

  • 当 $0<x<2$ 时，$x-2<0$，则 $g_2(x)=-[-(x-2)+\frac{4}{-(x-2)}]+4\le -4+4=0$。当 $x=0$ 时（趋近）取 0。此段范围为 $(-\infty ,0)$。

2. 确定 $a$ 的取值范围： 综上，$g(x)$ 的正值部分（因为 $a>0$）主要集中在：

• $x<-1$ 时的区间 $[4,+\infty )$；
• $x>2$ 时的区间 $[8,+\infty )$。

我们要使 $y=a$ 与 $y=g(x)$ 恰有 2 个交点：

• 当 $a\in (4,8)$ 时：直线 $y=a$ 与左侧分支（$x<-1$）有 2 个交点，与右侧分支（$x>2$）无交点。总计 2 个解。符合题意。
• 当 $a=4$ 时：左侧有 1 个交点（顶点），右侧无。总计 1 个解。不符。
• 当 $a\ge 8$ 时：左侧有 2 个交点，右侧至少有 1 个交点（$a=8$ 时）或 2 个交点（$a>8$ 时）。总计 3 或 4 个解。不符。
• 当 $0<a<4$ 时：左侧无正数交点。不符。

故实数 $a$ 的取值范围是 $(4,8)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 分离参数的威力：将复杂的含参方程转化为固定的函数图象与水平动直线的交点问题，是解决“根的个数”问题的万金油。
2. 对勾函数的变形：$\frac{x^2}{x+k}$ 是高考常客，变形技巧是“分子强行凑分母”：$\frac{x^2-k^2+k^2}{x+k}=(x-k)+\frac{k^2}{x+k}$。
3. 临界点分析：此类题目的答案区间通常由函数的极值点（顶点）决定。在本题中，左侧顶点的纵坐标 4 和右侧顶点的纵坐标 8 就是关键界限。

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📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 20.18 恒成立问题——参变分离法

类题演练 (Links)

• 2006-江西卷理-06 单-函数在闭区间上的最值
• 2008-上海卷理-19
• 2006-上海卷理-12 填-函数全局最小值的求解