20.18 恒成立问题——参变分离法

🟦 参变分离法

恒成立问题核心思想

贯穿恒成立问题的核心思想非常简单，即： 【知识点 1】 (1) $f(x)\ge 0$ 在定义域内恒成立等价于 $f(x{)}_{\min }\ge 0$； (2) $f(x)\le 0$ 在定义域内恒成立等价于 $f(x{)}_{\max }\le 0$。

【注】 若问题为 $f(x)\ge g(x)$ 在定义域内恒成立，则将其等价转化为 $(f(x)-g(x){)}_{\min }\ge 0$； 同样地，$f(x)\le g(x)$ 在定义域内恒成立等价于 $(f(x)-g(x){)}_{\max }\le 0$。

【经验总结 1】 指数找队友：与指数相关的恒成立问题，如果很难求导数的零点，则优先考虑将函数变形成 $e^{x}f(x)$ 或 $e^{-x}f(x)$ 的形式。

【经验总结 2】 对数单身狗：与对数相关的恒成立问题，如果很难求导数的零点，则优先考虑将函数变形成 $f(x)+\ln g(x)$ 的形式。