2018-江苏卷-06 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及组合数的计算。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定总事件数：从 5 名学生（2 男 3 女）中任选 2 名。这是一个无放回、无顺序的抽取过程，属于组合问题。计算 $C_5^2$。
2. 确定目标事件数：要求“恰好选中 2 名女生”，意味着这 2 名学生必须全部从 3 名女生中选出。计算 $C_3^2$。
3. 计算概率：利用古典概型概率公式 $P=\frac{m}{n}$ 进行求解。

✅【答案】

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$\frac{3}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{3}{10}$

【解析过程】 方法一：组合数法（推荐） 从总共 5 名学生中任选 2 名的基本事件总数为： $n=C_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$ 恰好选中 2 名女生的事件数为（即从 3 名女生中选出 2 名）： $m=C_3^2=3$ 因此，所求的概率为： $P=\frac{m}{n}=\frac{3}{10}$

方法二：列举法 设 2 名男生为 $M_1,M_2$，3 名女生为 $W_1,W_2,W_3$。 从中任选 2 名的所有可能结果有： $(M_1,M_2)$ $(M_1,W_1),(M_1,W_2),(M_1,W_3)$ $(M_2,W_1),(M_2,W_2),(M_2,W_3)$ $(W_1,W_2),(W_1,W_3),(W_2,W_3)$ 共计 10 种。 其中恰好是两名女生的是最后 3 种：$(W_1,W_2),(W_1,W_3),(W_2,W_3)$。 故概率 $P=\frac{3}{10}$。

故填入：$\frac{3}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 古典概型识别：具备“有限性”和“等可能性”两个特征的随机试验即为古典概型。
2. 排列与组合的区别：“任选两名去参加活动”没有主次、先后角色之分，因此是组合 ($C$) 而不是排列 ($A$)。
3. 列举法的兜底作用：当总体数量较小（如本题的 5 选 2，共 10 种）时，如果不确定组合数公式有没有用错，完全可以用列举法快速验证，做到万无一失。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下统计计数策略：

• 列举法：适合样本空间较小（如 $n\le 15$）的情况，按照一定顺序（如字典序）列举，做到不重不漏。
• 树状图法：适合于较为复杂、分步骤进行的随机试验。对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法厘清脉络。
• 列表法：适用于涉及两个维度变量（如同时抛掷两枚骰子）的求解问题，通过二维表格把抽象题目具体化。
• 排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目，熟练运用加法原理和乘法原理是关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷理-09 填-二项式定理
• 2008-安徽卷文-18 解-卡片抽取概率
• 2008-广东卷文-19 解-分层抽样与古典概型