2008-广东卷文-19 解-分层抽样与古典概型

本题导读

$\frac{x}{2000}=0.19$ 给 $x=380$；三年级占 $\frac{500}{2000}$，抽 $48\times \frac{500}{2000}=12$ 名；$y\in \{245,\cdots ,255\}$ 共 11 种，$y>250$ 有 5 种，概率 $\frac{5}{11}$.

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(文)） 某初级中学共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如下表：

	一年级	二年级	三年级
女生	$373$	$x$	$y$
男生	$377$	$370$	$z$
已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到初二年级女生的概率是 0.19.

(1)求 $x$ 的值；

(2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，问应在初三年级抽取多少名？

(3)已知 $y⩾245$，$z⩾245$，求初三年级中女生比男生多的概率.

🔍【思路分析】

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(1)抽到初二女生的概率即频率 $\frac{x}{2000}$. (2)先求 $y+z=500$，三年级占比即抽样比例. (3)把 $(y,z)$ 的等可能取值数清楚：$z=500-y⩾245$ 给 $y⩽255$，与 $y⩾245$ 合起来共 11 组；$y>z⟺y>250$，数出 5 组.

✅【答案】

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(1)$x=380$；(2)应在初三年级抽取 12 名；(3)所求概率为 $\frac{5}{11}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由抽到初二年级女生的概率为 0.19，得 $\frac{x}{2000}=0.19$，所以 $x=380$. (2)由全校学生总数，得 $y+z=2000-(373+377+380+370)=500$．初三年级学生占全校学生的比例为 $\frac{500}{2000}$，所以分层抽取 48 名学生时，初三年级应抽取 $48\times \frac{500}{2000}=12$ 名. (3)因为 $y+z=500$，且 $y$，$z$ 为正整数并满足 $y⩾245$，$z⩾245$，所以 $y$ 可以取 $245$，$246$，$\cdots$，$255$，共有 11 个等可能的有序数对 $(y,z)$．初三年级女生比男生多等价于 $y>z$，结合 $y+z=500$ 即 $y>250$，所以有 $y=251$，$252$，$253$，$254$，$255$ 共 5 个有序数对满足条件．因而所求概率为 $\frac{5}{11}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分层抽样与古典概型

核心方法：概率=频率定未知数；抽样按比例；”$y$ 每种取值等可能”数清楚样本空间

避坑指南：样本空间是 $y$ 的 11 个取值而不是 $(y,z)$ 的组合数——$z$ 由 $y$ 唯一确定；$y>250$ 的 5 个值别漏 251

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分层抽样与古典概型交汇，统计与概率整合的代表性考法

结论推广：$y$ 等可能取 $n$ 个值时，事件概率 = 符合条件的取值个数 / $n$

方法推广：表格型统计题先列总账（各行之和 = 总数），再把未知数逐个解出

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷理-06 单-分层抽样
• 2014-广东卷理-17 解-频数、频率计算
• 2013-广东卷理-17 解-茎叶图