2018-江苏卷-09 填-函数周期性

本题导读

本题考查函数的周期性，以及分段函数的求值。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）函数 $f(x)$ 满足 $f(x+4)=f(x)(x\in \mathbb{R})$，且在区间 $(-2,2]$ 上， $f(x)=\{\begin{array}{ll}\cos \frac{\pi x}{2},& 0<x\le 2\\ \left|x+\frac{1}{2}\right|,& -2<x\le 0\end{array}$ 则 $f(f(15))$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 明确周期性：由 $f(x+4)=f(x)$ 可知，函数 $f(x)$ 的周期 $T=4$。
2. 由内向外剥离：要求 $f(f(15))$，必须先求出内层的值 $f(15)$。
3. 内层求值（利用周期降阶）：将自变量 $15$ 通过减去周期的整数倍，转化到已知解析式的区间 $(-2,2]$ 内。$15=4\times 4-1$，所以 $f(15)=f(-1)$。代入对应的分段解析式求值。
4. 外层求值：将上一步求得的值再次代入 $f(x)$。判断该值所在的区间，选择正确的解析式分支进行最终计算。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

【解析过程】 已知 $f(x+4)=f(x)$，故函数的周期 $T=4$。 先求内层函数值 $f(15)$： $f(15)=f(15-4\times 4)=f(-1)$ 因为 $-1\in (-2,0]$，所以代入第二段解析式： $f(-1)=\left|-1+\frac{1}{2}\right|=\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$ 再求外层函数值 $f(f(15))$： $f(f(15))=f\left(\frac{1}{2}\right)$ 因为 $\frac{1}{2}\in (0,2]$，所以代入第一段解析式： $f\left(\frac{1}{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}\times \frac{1}{2}\right)=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

故填入：$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 多层嵌套求值法则：当出现 $f(f(a))$ 的形式时，遵循“由内到外、层层推进”的原则。先算 $f(a)=m$，再算 $f(m)$。
2. 分段函数的“对号入座”：每次代入前，务必先判断自变量的值落在哪一个区间内，绝不能张冠李戴。
3. 周期性的灵活运用：$f(x+T)=f(x)$，在计算大数值时，直接寻找与目标值关于模 $T$ 同余且落在已知区间内的数。例如 $15\equiv -1(\mathrm{mod}4)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下常见的周期性隐含条件，遇到时做到“秒转”：

• $f(x+a)=-f(x)$ $⟹$ 周期 $T=2a$。
• $f(x+a)=\frac{1}{f(x)}$ $⟹$ 周期 $T=2a$。
• $f(x+a)=-\frac{1}{f(x)}$ $⟹$ 周期 $T=2a$。
• $f(x)$ 图象关于 $x=a$ 和 $x=b$ 均对称 $⟹$ 周期 $T=2|a-b|$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2010-广东卷文-20 解-递推函数最值
• 2012-安徽卷理-16
• 2012-江苏卷-10 填-分段函数周期性