2010-广东卷文-20 解-递推函数最值

本题导读

考查函数递推与最值。由 $f(x)=kf(x+2)$（$k<0$）及 $[0,2]$ 上 $f(x)=x(x-2)$ 递推得 $f(-1)=-k$，$f(2.5)=-\frac{3}{4}k$。在 $[-3,3]$ 上分段表达后，按 $k$ 与 $-1$ 的大小分三类讨论最值及取得位置。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(文)） 已知函数 $f(x)$ 对任意实数 $x$ 均有 $f(x)=kf(x+2)$，其中常数 $k$ 为负数，且 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上有表达式 $f(x)=x(x-2)$.

(1)求 $f(-1)$，$f(2.5)$ 的值；

(2)写出 $f(x)$ 在 $[-3,3]$ 上的表达式，并讨论函数 $f(x)$ 在 $[-3,3]$ 上的单调性；

(3)求出 $f(x)$ 在 $[-3,3]$ 上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）用 $f(x)=kf(x+2)$ 把 $f(-1)$、$f(2.5)$ 递推到 $[0,2]$ 上的已知表达式。 2.（2）逐段（$[-3,-2],[-2,0],[0,2],[2,3]$）递推写出表达式，判断单调性。 3.（3）结合各段单调性与端点函数值，按 $k$ 的范围分类求最值。

✅【答案】

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(1) $f(-1)=-k$，$f(2.5)=-\frac{3}{4}k$

(2) 见解析，函数在 $[-3,-1]$、$[1,3]$ 上为增函数，在 $[-1,1]$ 上为减函数

(3) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $f(x)=kf(x+2)$，令 $x=-1$ 得 $f(-1)=kf(1)$，而 $f(1)=1\times (1-2)=-1$，故 $f(-1)=-k$. 令 $x=0.5$：$f(0.5)=kf(2.5)$，而 $f(0.5)=0.5\times (0.5-2)=-\frac{3}{4}$，故 $f(2.5)=\frac{f(0.5)}{k}=-\frac{3}{4k}$（即 $-\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{k}$）. （2）由 $f(x)=kf(x+2)$ 可递推： 当 $-3⩽x<-2$ 时，$f(x)=kf(x+2)=k^2(x+2)(x+4)$； 当 $-2⩽x<0$ 时，$f(x)=kf(x+2)=k(x+2)x$； 当 $0⩽x<2$ 时，$f(x)=x(x-2)$； 当 $2⩽x⩽3$ 时，由 $f(x)=kf(x+2)$ 反解，$f(x)=\frac{1}{k}(x-2)(x-4)$. 结合各段二次函数的开口与对称轴，可得 $f(x)$ 在 $[-3,-1]$ 与 $[1,3]$ 上为增函数，在 $[-1,1]$ 上为减函数. （3）由（2）的单调性，最值在端点 $x=-3,-1,1,3$ 处取得，比较各点函数值： $f(-3)=k^2,f(-1)=-k,f(1)=-1,f(3)=\frac{1}{k}(-1)\cdot (-1)=\frac{1}{k}.$ 因 $k<0$，分类讨论： 当 $k<-1$ 时，最小值为 $f(-3)=k^2$（在 $x=-3$ 处），最大值为 $f(-1)=-k$（在 $x=-1$ 处）； 当 $k=-1$ 时，最小值为 $-1$（在 $x=-3$ 或 $x=1$ 处），最大值为 $1$（在 $x=-1$ 或 $x=3$ 处）； 当 $-1<k<0$ 时，最小值为 $-1$（在 $x=1$ 处），最大值为 $\frac{1}{k}$（在 $x=3$ 处）.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推关系与分段函数最值

核心方法：由 $f(x)=kf(x+2)$ 递推出 $[-3,3]$ 分段表达式，比较端点 $f(-3)=k^2,f(-1)=-k,f(1)=-1,f(3)=\frac{1}{k}$ 分类求最值

避坑指南：$f(x)=kf(x+2)$ 等价于 $f(x)=\frac{1}{k}f(x-2)$ 向左递推；$k<0$ 使最值随 $k$ 与 $-1$ 大小关系变化，要分类。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：递推型分段函数：先按周期递推出各段表达式，再逐段看单调、比较端点。

结论推广：$f(x)=kf(x+2)$ 可正反两个方向递推；二次分段函数单调性看对称轴与开口。

方法推广：最值出现在端点或顶点，把所有候选点函数值算出来比较，含参数时分类讨论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-20 解-数列递推裂项
• 2011-广东卷文-20 解-数列递推与均值
• 2012-天津卷文-14 填-分段函数图象交点
• 2009-湖南卷文-08 单-新定义分段函数