2018-江苏卷-21A 解-圆的切线

本题导读

本题考查圆的切线性质。核心在于几何综合法、辅助线法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分. A.[选修4-1：几何证明选讲] 如图，圆 $O$ 的半径为 $2$，$AB$ 为圆 $O$ 的直径，$P$ 为 $AB$ 延长线上一点，过 $P$ 作圆 $O$ 的切线，切点为 $C$.若 $PC=2\sqrt{3}$，求 $BC$ 的长.

🔍【思路分析】

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1. 明确切线性质（遇切点连圆心）：题目给出 $PC$ 是切线，$C$ 是切点。平面几何的条件反射是：连接 $OC$，必定有 $OC\perp PC$。
2. 解直角三角形：在构造出的 $Rt△OCP$ 中，已知两直角边：$OC=2$（圆的半径），$PC=2\sqrt{3}$。利用勾股定理可求出斜边 $OP$ 的长度。
3. 挖掘隐藏的中点条件：计算出 $OP$ 后，观察点 $B$ 的位置。因为 $OB$ 是半径，所以 $OB=2$。对比 $OB$ 和 $OP$ 的长度关系，可以发现点 $B$ 恰好是斜边 $OP$ 的中点。
4. 利用中线定理得出结论：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。连接 $BC$，$BC$ 就是 $Rt△OCP$ 斜边 $OP$ 上的中线，直接得出结论。

✅【答案】

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$BC=2$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 2

【解析过程】 连结 $OC$。 因为 $PC$ 与圆 $O$ 相切于点 $C$， 所以 $OC\perp PC$，即 $△OCP$ 为直角三角形。 又因为圆的半径为 $2$，所以 $OC=2$。 已知 $PC=2\sqrt{3}$，在 $Rt△OCP$ 中，由勾股定理得： $OP=\sqrt{P{C}^2+O{C}^2}=\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2+2^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4$ 因为 $AB$ 为圆 $O$ 的直径，点 $B$ 在 $OP$ 上，且 $OB$ 为圆的半径， 所以 $OB=2$。 因为 $OP=4$ 且 $OB=2$，所以 $PB=OP-OB=2$。 即点 $B$ 是 $Rt△OCP$ 斜边 $OP$ 的中点。 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，连结 $BC$，则有： $BC=\frac{1}{2}OP=2$ （或者说 $BC=OB=PB=2$）

答：$BC$ 的长为 $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 平面几何辅助线口诀：“见切点，连圆心，必垂直”。这是解决所有圆的切线问题的第一步。
2. 直角三角形经典定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个定理在求线段长度、证明线段相等或证明直角时经常作为“快速求解”工具。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中可以记录这种“算角代边”的思路，有时比纯几何性质更直观：

• 在 $Rt△OCP$ 中，$\tan \angle POC=\frac{PC}{OC}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
• 因为 $\angle POC$ 是锐角，所以 $\angle POC=60^{\circ }$。
• 在 $△OBC$ 中，$OB=OC=2$（均为半径），所以 $△OBC$ 是等腰三角形。
• 顶角 $\angle BOC=60^{\circ }$ 的等腰三角形必定是等边三角形。
• 因此，底边 $BC=2$。直接得出答案！

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2021-天津卷-12 填-直线与圆相切
• 1980-全国卷理-09
• 2004-全国卷II理-08 单-两圆的位置关系