2021-天津卷-12 填-直线与圆相切

本题导读

本题考查直线方程，以及圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（2021年天津卷）12．若斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与 $y$ 轴交于点 $A$，与圆 $x^2+(y-1{)}^2=1$ 相切于点 $B$，则 |AB| =$$\underline{\hspace{2em}}.

🔍【思路分析】

破题导航

处理直线与圆相切求线段长度的问题，通常遵循“数形结合”的原则，构建直角三角形是破题的关键：

1. 设方程与找点：已知直线斜率为 $\sqrt{3}$，且交 $y$ 轴于点 $A$，可设直线方程为斜截式 $y=\sqrt{3}x+b$，此时点 $A$ 的坐标即为 $(0,b)$。

2. 用相切条件转化：提取圆心 $C(0,1)$ 和半径 $r=1$。直线与圆相切的核心等价条件是圆心到直线的距离等于半径 ($d=r$)。利用点到直线的距离公式，可以建立关于 $b$ 的等式。

3. 构造直角三角形解题：连接圆心 $C$ 与切点 $B$，连接 $C$ 与点 $A$。根据圆的切线性质，$CB\perp AB$。在 $\text{Rt}△ABC$ 中，直角边 $|BC|=r=1$，斜边 $|AC|$ 可以通过两点间距离公式求出。最后利用勾股定理求出另一直角边（即切线段） $|AB|$ 的长度。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：设直线方程，明确关键点坐标

因为直线斜率为 $\sqrt{3}$，设直线 $AB$ 的方程为 $y=\sqrt{3}x+b$。

化为一般式方程得：$\sqrt{3}x-y+b=0$。

该直线与 $y$ 轴的交点为 $A$，令 $x=0$，得 $y=b$，所以点 $A$ 的坐标为 $(0,b)$。

第二步：利用相切条件求参数关系

已知圆的方程为 $x^2+(y-1{)}^2=1$，可得：

圆心 $C$ 的坐标为 $(0,1)$，半径 $r=1$。

因为直线 $AB$ 与圆相切，所以圆心 $C(0,1)$ 到直线 $\sqrt{3}x-y+b=0$ 的距离 $d$ 等于半径 $r$。

根据点到直线的距离公式：

$d=\frac{|\sqrt{3}\times 0-1+b|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{|b-1|}{\sqrt{3+1}}=\frac{|b-1|}{2}$

令 $d=r=1$，得：

$\frac{|b-1|}{2}=1⟹|b-1|=2$

解得 $b=-1$ 或 $b=3$。

第三步：利用勾股定理求切线段长

点 $A(0,b)$ 与圆心 $C(0,1)$ 之间的距离 $|AC|$ 为：

$|AC|=\sqrt{(0-0{)}^2+(b-1{)}^2}=|b-1|$

由上一步可知，由于 $|b-1|=2$，所以 $|AC|=2$。（注意：这里甚至不需要具体算出 $b$ 的值，直接代入 $|b-1|=2$ 即可，见下文“拓展延伸”）。

因为直线与圆相切于点 $B$，所以圆心到切点的连线垂直于切线，即 $CB\perp AB$。

在直角三角形 $△ABC$ 中：

斜边 $|AC|=2$，直角边 $|BC|=r=1$。

根据勾股定理：

$|AB|=\sqrt{|AC{|}^2-|BC{|}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$

故答案为：$\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 直线与圆位置关系的代数判定：处理直线与圆的问题，首选“几何法”（算距离 $d$ 与 $r$ 比较），次选“代数法”（联立方程判别式 $\Delta$）。几何法（利用 $d=r$ 相切、$d<r$ 相交、$d>r$ 相离）通常计算量更小。

2. 点到直线的距离公式：点 $P(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 是解析几何的基石，必须熟练掌握。在此公式应用前，必须先将直线方程化为一般式。

3. 圆的切线几何性质：连接圆心与切点，必产生垂直关系。构造由“圆心、切点、圆外一点”组成的直角三角形是求切线长、弦长的万能钥匙。

📖【试题探源与推广】

Tip

在上述第二步中，我们得到 $\frac{|b-1|}{2}=1⟹|b-1|=2$。

此时其实完全没有必要解出 $b=-1$ 或 $3$。

因为我们下一步求 $|AC|$ 时，公式正是 $|AC|=\sqrt{(0-0{)}^2+(b-1{)}^2}=|b-1|$。

直接将 $|b-1|=2$ 作为一个整体代入，即可得到 $|AC|=2$，从而直接进行勾股定理运算。这种“整体代换”的思想在高考解析几何中能大幅节约时间，降低算错的风险。

除了构造直角三角形，高中数学中还有一个非常实用的二级结论：

过圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 外一点 $P(x_0,y_0)$ 引圆的切线，切线段的长度 $L$ 为：

$L=\sqrt{(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2-r^2}$

(记忆方法：把圆外一点的坐标代入圆的方程左边，减去右边的半径平方，然后开根号)

用此公式重新审视本题：

点 $A$ 为 $(0,b)$，圆的方程为 $x^2+(y-1{)}^2=1$（即 $r^2=1$）。

将点 $A$ 代入切线长公式：

$|AB|=\sqrt{0^2+(b-1{)}^2-1}=\sqrt{(b-1{)}^2-1}$

因为由相切条件 $d=r$ 我们求出了 $(b-1{)}^2=|b-1{|}^2=2^2=4$。

代入公式即得：

$|AB|=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$

一步到位，非常干脆！建议学有余力的同学掌握这个二级结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.02 直线方程的形式与直线系
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程