2018-浙江卷-16 填-计数原理

本题导读

本题考查分类加法计数原理，以及分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（2018年浙江卷）从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成 $\underline{}$ 个没有重复数字的四位数.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确元素池：

   • 奇数集合：$\{1,3,5,7,9\}$（共 5 个）。

   • 偶数集合：$\{0,2,4,6\}$（共 4 个）。

2. 约束条件：

   • 必须从奇数中选 2 个，偶数中选 2 个。

   • 组成的是“四位数”，因此最高位（千位）不能为 0。

3. 解题策略：

   • 方法一（直接法/分类）：

     • 情况 1：选出的 2 个偶数中不含 0。

     • 情况 2：选出的 2 个偶数中包含 0（需处理首位限制）。

   • 方法二（间接法/排除）：

     • 先算出选出 4 个数字后的全排列数，再减去其中首位为 0 的排列数。

✅【答案】

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1260

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 1260

【解析过程】

解法一：分类讨论法

1. 不取数字 0：

   • 从 5 个奇数中选 2 个：$C_5^2=10$ 种；

   • 从除 0 以外的 3 个偶数 $\{2,4,6\}$ 中选 2 个：$C_3^2=3$ 种；

   • 将选出的 4 个非零数字进行全排列：$A_4^4=24$ 种。

   • 此类四位数共有：$10\times 3\times 24=720$ 个。

2. 取数字 0：

   • 从 5 个奇数中选 2 个：$C_5^2=10$ 种；

   • 从除 0 以外的 3 个偶数中选 1 个（与 0 配对）：$C_3^1=3$ 种；

   • 安排首位：首位不能为 0，有 $C_3^1$（从奇数和另一个偶数中选，共 3 个名额）？不对，选出的数字是 $\{奇,奇,偶,0\}$，首位有 3 种选法；

   • 安排剩余 3 位：剩余 3 个数字全排列 $A_3^3=6$ 种。

   • 此类四位数共有：$10\times 3\times 3\times 6=540$ 个。

3. 汇总：

   $720+540=1260$。

解法二：间接法（推荐）

1. 选数：从奇数选 2 个，偶数选 2 个，方法数为 $C_5^2\cdot C_4^2=10\times 6=60$ 种。

2. 排列（含 0 在首位）：$60\times A_4^4=60\times 24=1440$ 种。

3. 排除首位为 0 的情况：

   • 若首位为 0，则说明必选了 0，其余 1 个偶数选法有 $C_3^1$ 种，奇数选法 $C_5^2$ 种。

   • 此时首位固定为 0，其余 3 位排列数为 $A_3^3=6$。

   • 排除数：$C_5^2\cdot C_3^1\cdot A_3^3=10\times 3\times 6=180$。

4. 计算：$1440-180=1260$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 特殊元素/特殊位置优先：本题中“0”是特殊元素，“首位”是特殊位置。处理此类问题时，要么先安顿好 0，要么先排好首位。

2. 组合与排列的顺序：通常遵循“先选后排”的原则，这样逻辑最清晰，不容易遗漏或重复。

3. 易错点：

   • 忘记四位数首位不能为 0 的限制。

   • 在选数阶段误将奇偶数混合抽取，题目明确要求“从奇数中取 2 个，从偶数中取 2 个”。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理以下模型：

• 相邻问题：捆绑法。

• 不相邻问题：插空法。

• 特殊位限制：优先法或间接法。

• 相同元素分配：隔板法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷理-12
• 2011-大纲卷文-09 单-计数原理选课
• 2012-北京卷理-06