2018-浙江卷-18 解-三角函数定义

本题导读

本题考查任意角三角函数的定义。核心在于定义法、配角法 (角变换)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年浙江卷）已知角 $\alpha$ 的顶点与原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边过点 $P(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5})$.

(1) 求 $\sin (\alpha +\pi )$ 的值；

(2) 若角 $\beta$ 满足 $\sin (\alpha +\beta )=\frac{5}{13}$，求 $\cos \beta$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用定义求值：已知终边点 $P(x,y)$，先计算 $r=\sqrt{x^2+y^2}$。由定义可知 $\sin \alpha =\frac{y}{r}$，$\cos \alpha =\frac{x}{r}$。

2. 第一问（诱导公式）：利用公式 $\sin (\alpha +\pi )=-\sin \alpha$ 直接得出结果。

3. 第二问（角变换）：

   • 目标是求 $\cos \beta$。观察已知角 $\alpha$ 和 $\alpha +\beta$，利用关系式 $\beta =(\alpha +\beta )-\alpha$。

   • 需要先根据 $\sin (\alpha +\beta )$ 求出 $\cos (\alpha +\beta )$，注意由于没有限定象限，余弦值存在正负两种可能。

   • 应用两角差的余弦公式：$\cos \beta =\cos [(\alpha +\beta )-\alpha ]=\cos (\alpha +\beta )\cos \alpha +\sin (\alpha +\beta )\sin \alpha$。

✅【答案】

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(1) $\frac{4}{5}$

(2) $\cos \beta =\frac{16}{65}$ 或 $\cos \beta =-\frac{56}{65}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 (1) $\frac{4}{5}$；(2) $-\frac{56}{65}$ 或 $\frac{16}{65}$。

【解析过程】

(1)由角 $\alpha$ 的终边过点 $P(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5})$，

得 $r=\sqrt{(-\frac{3}{5}{)}^2+(-\frac{4}{5}{)}^2}=1$。

根据三角函数定义：

$\sin \alpha =\frac{y}{r}=-\frac{4}{5}$， $\cos \alpha =\frac{x}{r}=-\frac{3}{5}$。

由诱导公式得：

$\sin (\alpha +\pi )=-\sin \alpha =-(-\frac{4}{5})=\frac{4}{5}$。

(2)已知 $\sin (\alpha +\beta )=\frac{5}{13}$。

根据同角三角函数基本关系 ${\sin }^2(\alpha +\beta )+{\cos }^2(\alpha +\beta )=1$，得：

$\cos (\alpha +\beta )=\pm \sqrt{1-(\frac{5}{13}{)}^2}=\pm \frac{12}{13}$。

利用角变换 $\beta =(\alpha +\beta )-\alpha$，展开得：

$\cos \beta =\cos [(\alpha +\beta )-\alpha ]=\cos (\alpha +\beta )\cos \alpha +\sin (\alpha +\beta )\sin \alpha$。

① 当 $\cos (\alpha +\beta )=\frac{12}{13}$ 时：

$\cos \beta =\frac{12}{13}\times (-\frac{3}{5})+\frac{5}{13}\times (-\frac{4}{5})=-\frac{36}{65}-\frac{20}{65}=-\frac{56}{65}$。

② 当 $\cos (\alpha +\beta )=-\frac{12}{13}$ 时：

$\cos \beta =(-\frac{12}{13})\times (-\frac{3}{5})+\frac{5}{13}\times (-\frac{4}{5})=\frac{36}{65}-\frac{20}{65}=\frac{16}{65}$。

综上所述，$\cos \beta$ 的值为 $-\frac{56}{65}$ 或 $\frac{16}{65}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. “变角”思想：在三角恒等变换中，比起死记硬背公式，学会观察已知角与待求角之间的加减关系（如 $\beta =(\alpha +\beta )-\alpha$ 或 $2\alpha =(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta )$）是解题的高阶技巧。

2. 符号的完整性：利用平方关系求正余弦值时，若没有给定角的范围，必须讨论正负两种情况。这是解答题中最容易失分的地方。

3. 计算核对：三角函数的计算涉及大量分数乘加，建议最后将结果代入其他公式（如 $\sin \beta$）验证是否满足基本逻辑。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理以下高频变角公式：

• $\alpha =(\alpha +\beta )-\beta$

• $2\alpha =(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta )$

• $2\beta =(\alpha +\beta )-(\alpha -\beta )$

• $\alpha =\frac{(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta )}{2}$

已完成第 18 题录入。是否继续录入第 19 题（立体几何证明与计算）？

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1977-上海理-01(4）
• 1989-全国卷理-04 单-反三角函数求值