2019-上海卷-02 填-复数运算

本题导读

本题考查复数的四则运算，以及复数的代数表示法。

📌【题干】

Question

（2019年上海卷）已知 $z\in \mathbb{C}$ 且满足 $\frac{1}{z}-5=i$，求 $z=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 转化方程：首先将方程变形，求出 $\frac{1}{z}$ 的表达式，即 $\frac{1}{z}=5+i$。
2. 取倒数：得到 $z=\frac{1}{5+i}$。
3. 分母实数化：利用共轭复数的性质，分子分母同乘以分母的共轭复数 $5-i$，将复数化为 $a+bi$ 的形式。

✅【答案】

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$\frac{5}{26}-\frac{1}{26}i$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{5}{26}-\frac{1}{26}i$ 【解析过程】 由题意得：$\frac{1}{z}=5+i$ 则 $z=\frac{1}{5+i}$ 分子分母同乘以 $5-i$： $z=\frac{5-i}{(5+i)(5-i)}$ $z=\frac{5-i}{5^2-i^2}$ 因为 $i^2=-1$，所以： $z=\frac{5-i}{25+1}=\frac{5-i}{26}$ 即 $z=\frac{5}{26}-\frac{1}{26}i$。 故答案为：$\frac{5}{26}-\frac{1}{26}i$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 共轭复数应用：在复数除法中，分子分母同乘以分母的共轭复数是化简的核心步骤。
• 运算准确性：注意分母化简结果为 $a^2+b^2$ 而非 $a^2-b^2$，这是复数运算中极易出错的符号细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理复数倒数的常用结论： 若 $z=a+bi$，则：

• $\frac{1}{z}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$
• 特别地，对于单位复数（模为 1 的复数），其倒数等于其共轭复数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2012年上海卷理-2
• 2012年陕西卷理-6