2019-上海卷-07 填-几何体体积

本题导读

本题考查空间几何体的体积，以及扇形的弧长与底面周长的关系。

📌【题干】

Question

（2019年上海卷）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2，圆心角为 $\pi$ 的扇形，则该圆锥的体积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 侧面与底面的联系：圆锥的母线长 $l$ 等于侧面展开图扇形的半径；圆锥底面周长 $C$ 等于侧面展开图扇形的弧长 $L$。
2. 计算底面半径：利用扇形弧长公式 $L=\alpha r$ 计算出弧长，再由 $2\pi R=L$ 求出圆锥底面半径 $R$。
3. 求圆锥的高：圆锥的高 $h$、底面半径 $R$ 和母线 $l$ 构成直角三角形，利用勾股定理 $h=\sqrt{l^2-R^2}$。
4. 计算体积：代入圆锥体积公式 $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$ 【解析过程】 由题意可知，圆锥的母线长 $l=2$。 侧面展开图扇形的弧长 $L=\pi \times 2=2\pi$。 设圆锥底面半径为 $R$，则底面周长 $2\pi R=L=2\pi$， 解得 $R=1$。 设圆锥的高为 $h$，根据勾股定理： $h=\sqrt{l^2-R^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。 则圆锥的体积 $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi \times 1^2\times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$。 故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心转化：母线 $\leftrightarrow$ 扇形半径，底面周长 $\leftrightarrow$ 扇形弧长。这是解决展开图问题的唯一突破口。
• 公式准确性：注意圆锥体积公式中有 $\frac{1}{3}$，考生常因遗漏此系数导致计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理圆锥侧面积的快捷公式：

• $S_{侧}=\pi Rl$
• 本题中 $S_{侧}=\pi \times 1\times 2=2\pi$，验证扇形面积 $\frac{1}{2}Lr=\frac{1}{2}\times 2\pi \times 2=2\pi$，结果一致。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 07.01 弧度制与扇形度量

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷II理-16
• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式
• 2024-北京卷-08 单-四棱锥高