2024-北京卷-08 单-四棱锥高

本题导读

本题考查立体几何中线面垂直的判定与棱锥高的求解，核心在于通过作特征截面将空间立体问题转化为平面几何问题，利用勾股定理逆定理判定垂直，并结合等面积法求高.

📌【题干】

Question

（2024年北京卷）如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是边长为 4 的正方形， $PA=PB=4$，$PC=PD=2\sqrt{2}$，该棱锥的高为()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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1. 分析侧面三角形特征：分别在等边 $△PAB$ 和等腰直角 $△PCD$ 中，求出底边中线长度。
2. 构造特征截面：取底面对边中点 $E,F$ 构造截面 $△PEF$，利用勾股定理逆定理判定 $\angle EPF=90^{\circ }$。
3. 证明线面垂直：证明面面垂直或线面垂直，确定高的准确位置（即过 $P$ 作 $EF$ 的垂线段 $PG$ ）。
4. 等面积法求高：在 $\text{Rt}△PEF$ 中利用“两直角边乘积等于斜边乘斜边上的高”求出 $PG$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析侧面三角形的性质并求出中线长 由题意， $AB=4$，$PA=PB=4$，故 $△PAB$ 为等边三角形。 取 $AB$ 的中点 $E$，连接 $PE$。因为 $△PAB$ 是等边三角形，所以 $PE\perp AB$，且 $PE=4\times \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。 同理， $CD=4$，$PC=PD=2\sqrt{2}$。 因为 $P{C}^2+P{D}^2=8+8=16=C{D}^2$，所以 $△PCD$ 为等腰直角三角形（ $\angle CPD=90^{\circ }$ ）。 取 $CD$ 的中点 $F$，连接 $PF$。因为 $△PCD$ 是等腰直角三角形，所以 $PF\perp CD$，且 $PF$ 为斜边一半，即 $PF=\frac{1}{2}CD=2$。

第二步：构造截面三角形 $△PEF$ 并判定其形状 连接 $EF$。因为 $ABCD$ 是正方形，且 $E,F$ 分别为 $AB,CD$ 中点， 所以 $EF\parallel BC\parallel AD$ 且 $EF\perp AB$，$EF\perp CD$，且 $EF=4$。 在 $△PEF$ 中，已知 $PE=2\sqrt{3}$，$PF=2$，$EF=4$。 因为 $P{E}^2+P{F}^2=(2\sqrt{3}{)}^2+2^2=12+4=16$，且 $E{F}^2=4^2=16$， 所以 $P{E}^2+P{F}^2=E{F}^2$，根据勾股定理逆定理，可知 $△PEF$ 为直角三角形，且 $PE\perp PF$。

第三步：证明线面垂直，寻找棱锥的高 过点 $P$ 在平面 $PEF$ 内作 $PG\perp EF$，垂足为 $G$。 易知 $CD\perp PF$（等腰三角形底边中线）， $CD\perp EF$（正方形性质）。 因为 $EF,PF\subset$ 平面 $PEF$，且 $EF\cap PF=F$， 所以 $CD\perp$ 平面 $PEF$。 又因为 $PG\subset$ 平面 $PEF$，所以 $CD\perp PG$。 在平面 $ABCD$ 中，已知 $PG\perp CD$ 且 $PG\perp EF$。 因为 $CD,EF\subset$ 平面 $ABCD$，且相交于 $F$ 点， 所以 $PG\perp$ 平面 $ABCD$。 因此，线段 $PG$ 即为四棱锥 $P-ABCD$ 的高。

第四步：利用等面积法求 $PG$ 在 $\text{Rt}△PEF$ 中，面积 $S_{△PEF}=\frac{1}{2}PE\cdot PF=\frac{1}{2}EF\cdot PG$。 代入数据得： $\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 2=\frac{1}{2}\times 4\times PG$ 解得： $PG=\frac{2\sqrt{3}\times 2}{4}=\sqrt{3}$

【答案】：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直与线面垂直的相互转化、锥体高线的定位、空间几何体的截面性质。
2. 核心方法：特征截面法（简化处理）、等面积法。
3. 避坑指南：

• 敏感度要求：遇到 $2\sqrt{2}$ 与 $4$ 的组合，必须第一时间联想到等腰直角三角形的边长比例关系 $1:1:\sqrt{2}$。
• 严谨性要求：求锥体的高时，绝不能凭直觉主观假定体现点的位置，必须通过严格的逻辑推导证明该线段垂直于底面内两条相交直线（本题中的 $CD$ 和 $EF$ ），否则极易导致空间关系判断失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自立体几何中常见的“通过截面简化求解空间距离”的经典模型。通过侧面的特殊三角形（等边与等腰直角）提供数据，回归基础的平面几何运算。
2. 结论推广: 凡遇到“底面是对称图形（如矩形、正方形），侧棱具有局部对称性”的棱锥体，通常取底面对边中点构造垂直于底面的截面（本题的平面 $PEF$ ）。这能将三维的求高、求二面角问题瞬间“压扁”成二维平面几何问题。而在直角三角形中求斜边上的高，使用 $h=\frac{a\cdot b}{c}$ 永远是最稳妥的高效公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 2023-甲卷文-10 单-三棱锥体积
• 1980-全国卷理-05