2019-上海卷-15 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数图象的平移变换。

📌【题干】

Question

（2019年上海卷）已知 $\omega \in \mathbb{R}$，函数 $f(x)=(x-6{)}^2\cdot \sin (\omega x)$，存在常数 $a\in \mathbb{R}$，使得 $f(x+a)$ 为偶函数，则 $\omega$ 可能的值为()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 结构观察：$f(x)$ 由一个二次项 $(x-6{)}^2$ 和一个三角项 $\sin (\omega x)$ 相乘组成。

2. 偶函数特征：若 $g(x)=f(x+a)$ 是偶函数，则 $g(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称。这意味着原函数 $f(x)$ 必然存在一条对称轴 $x=a$。

3. 分项讨论：

• 对于 $(x+a-6{)}^2$，要使其成为偶函数（关于 $y$ 轴对称），必须满足 $a-6=0$，即 $a=6$。此时该项变为 $x^2$，是偶函数。

• 根据“偶函数 $\times$ 偶函数 = 偶函数”的原理，此时要求 $\sin [\omega (x+6)]$ 也必须是关于 $y$ 轴对称的偶函数。

4. 三角项要求：正弦函数 $y=\sin X$ 要成为偶函数，其初相必须满足 $X=\omega x+6\omega =k\pi +\frac{\pi }{2}$ ($k\in \mathbb{Z}$)。

5. 求解 $\omega$：令 $6\omega =\frac{\pi }{2}+k\pi$，通过取不同的 $k$ 值验证选项。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

设 $g(x)=f(x+a)=(x+a-6{)}^2\cdot \sin [\omega (x+a)]$。

若 $g(x)$ 为偶函数，则其解析式中不应含有 $x$ 的奇次方项（对于多项式部分）。

为了让 $(x+a-6{)}^2$ 成为关于 $y$ 轴对称的偶函数，必须取 $a=6$。

此时 $g(x)=x^2\cdot \sin [\omega (x+6)]$。

由于 $x^2$ 是偶函数，要使 $g(x)$ 为偶函数，则 $\sin [\omega x+6\omega ]$ 必须也是偶函数。

根据正弦函数的性质，当初相为 $\frac{\pi }{2}$ 的整数倍且对应最值点时，函数为偶函数。

即 $6\omega =k\pi +\frac{\pi }{2}$ ($k\in \mathbb{Z}$)。

解得 $\omega =\frac{k\pi }{6}+\frac{\pi }{12}=\frac{(2k+1)\pi }{12}$。

• 当 $k=0$ 时，$\omega =\frac{\pi }{12}$；

• 当 $k=1$ 时，$\omega =\frac{3\pi }{12}=\frac{\pi }{4}$（对应选项 C）；

• 当 $k=2$ 时，$\omega =\frac{5\pi }{12}$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 对称性的传递：多项式与三角函数积的奇偶性，通常要求各部分在平移后具有相同的对称性（同偶）或互补的对称性（同奇得偶，但本题二次项无法平移成奇函数）。

• 排除法技巧：在考试中，若时间紧张，可以直接代入选项 $\omega =\frac{\pi }{4}$，尝试 $a=6$，发现 $f(x+6)=x^2\sin (\frac{\pi }{4}x+\frac{3\pi }{2})=x^2(-\cos \frac{\pi }{4}x)$，显然是偶函数。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理函数平移与奇偶性的关系：

• 若 $f(x)$ 关于 $x=a$ 对称，则 $f(x+a)$ 是偶函数。

• 若 $f(x)$ 关于 $(a,0)$ 中心对称，则 $f(x+a)$ 是奇函数。

• 本题实质是考查 $f(x)$ 是否存在对称轴。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11

• 2005-天津卷理-16 填-奇函数零点性质

• 2007-天津卷理-07 单-函数单调性区间平移