2019-上海卷-18 解-分式不等式

本题导读

本题考查分式不等式的解法。核心在于待定系数法、参数分离法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年上海卷）已知 $f(x)=ax+\frac{1}{x+1}$ ($a\in \mathbb{R}$)。

(1)当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x)+1<f(x+1)$ 的解集；

(2)若 $x\in [1,2]$ 时，$f(x)$ 有零点，求 $a$ 的范围。

🔍【思路分析】

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1. 第一问（不等式解法）：

• 代入参数：将 $a=1$ 代入 $f(x)$ 得到具体的解析式。
• 建立不等式：列出关于 $x$ 的分式不等式，通过移项、通分，化为标准的分式不等式形式 $\frac{g(x)}{h(x)}<0$。
• 求解范围：利用“穿针引线法”或符号逻辑得出解集，注意分母不为 0 的限制。

2. 第二问（参数范围）：

• 转化方程：$f(x)$ 有零点即方程 $ax+\frac{1}{x+1}=0$ 在 $[1,2]$ 上有解。
• 参数分离：将 $a$ 单独隔离出来，得到 $a=-\frac{1}{x(x+1)}$。
• 求值域：令 $g(x)=-\frac{1}{x^2+x}$，研究该函数在 $[1,2]$ 上的单调性，从而求出其值域，该值域即为 $a$ 的取值范围。

✅【答案】

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(1)解集为 $\{x\mid -2<x<-1\}$。

(2)$a\in [-\frac{1}{2},-\frac{1}{6}]$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 当 $a=1$ 时，$f(x)=x+\frac{1}{x+1}$。 不等式 $f(x)+1<f(x+1)$ 即： $x+\frac{1}{x+1}+1<(x+1)+\frac{1}{(x+1)+1}$ 化简得：$\frac{1}{x+1}<\frac{1}{x+2}$ 移项通分：$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}<0$ $\frac{(x+2)-(x+1)}{(x+1)(x+2)}<0⟹\frac{1}{(x+1)(x+2)}<0$ 由分式不等式性质得：$(x+1)(x+2)<0$ 解得：$-2<x<-1$。 故原不等式的解集为 $\{x\mid -2<x<-1\}$。

(2)解： 依题意，$f(x)=ax+\frac{1}{x+1}=0$ 在 $x\in [1,2]$ 上有解。 因为 $x\in [1,2]$，所以 $x\ne 0$，方程可变形为： $a=-\frac{1}{x(x+1)}$。 设 $g(x)=-\frac{1}{x^2+x}$，$x\in [1,2]$。 由于 $h(x)=x^2+x$ 在 $[1,2]$ 上单调递增，且恒大于 0， 所以 $\frac{1}{x^2+x}$ 在 $[1,2]$ 上单调递减， 则 $g(x)=-\frac{1}{x^2+x}$ 在 $[1,2]$ 上单调递增。 当 $x=1$ 时，$g(1)=-\frac{1}{1\times 2}=-\frac{1}{2}$； 当 $x=2$ 时，$g(2)=-\frac{1}{2\times 3}=-\frac{1}{6}$。 所以 $g(x)\in [-\frac{1}{2},-\frac{1}{6}]$。 要使方程有解，参数 $a$ 必须在函数 $g(x)$ 的值域内， 故 $a$ 的取值范围是 $[-\frac{1}{2},-\frac{1}{6}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 分式不等式细节：移项通分是标准做法，切忌在不等式两边直接跨过分母相乘（除非确定分母符号）。
• 参数分离的优越性：将“方程有解”转化为“参数等于函数”，通过研究函数值域来定界，比分类讨论 $a$ 或使用根的分布更加直观高效。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理参数分离的适用场景：

• 若方程可以表示为 $a=\varphi (x)$，则 $a$ 的范围即为 $\varphi (x)$ 的值域。
• 若方程可以表示为 $a\ge \varphi (x)$ 恒成立，则 $a\ge \varphi (x{)}_{\max }$。
• 若方程可以表示为 $a\ge \varphi (x)$ 能成立，则 $a\ge \varphi (x{)}_{\min }$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2000-上海卷理-19 解-基本不等式
• 2013-江西卷文-06 单-分式不等式链
• 1977-福建卷-02(1)