2019-全国卷I文-05 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性判定，以及函数图象的识别。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(文)）函数 $f(x)=\frac{\sin x+x}{\cos x+x^2}$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 的图像大致为()

🔍【思路分析】

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1. 判断奇偶性：首先通过 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系判断函数是否具有对称性（关于原点对称或关于 $y$ 轴对称），从而排除不符合对称性的选项。
2. 特殊值校验：观察剩余选项在关键点（如 $x=\frac{\pi }{2},x=\pi$ 等）的取值正负或大小关系。
3. 细节判断：如果依然无法确定，可以考察 $x\to 0$ 时的趋势（导数或极限）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】 第一步：判定奇偶性 由 $f(x)=\frac{\sin x+x}{\cos x+x^2}$，其定义域为 $[-\pi ,\pi ]$，关于原点对称。 $f(-x)=\frac{\sin (-x)+(-x)}{\cos (-x)+(-x{)}^2}=\frac{-\sin x-x}{\cos x+x^2}=-\left(\frac{\sin x+x}{\cos x+x^2}\right)=-f(x)$。 所以 $f(x)$ 为奇函数，其图象关于原点对称。 （据此可以排除掉关于 $y$ 轴对称或无对称性的选项，例如 A 项）。

第二步：取特殊值判断 取 $x=\pi$： $f(\pi )=\frac{\sin \pi +\pi }{\cos \pi +{\pi }^2}=\frac{0+\pi }{-1+{\pi }^2}=\frac{\pi }{{\pi }^2-1}$。 由于 $\pi \approx 3.14$，则 ${\pi }^2-1>0$，故 $f(\pi )>0$。 （如果某个选项在 $x=\pi$ 处图象位于 $x$ 轴下方，即可排除）。

再取 $x=\frac{\pi }{2}$： $f(\frac{\pi }{2})=\frac{\sin \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}}{\cos \frac{\pi }{2}+(\frac{\pi }{2}{)}^2}=\frac{1+\frac{\pi }{2}}{0+\frac{{\pi }^2}{4}}=\frac{4+2\pi }{{\pi }^2}\approx \frac{4+6.28}{9.86}>1$。 观察图象在 $\frac{\pi }{2}$ 附近的高度，D 项符合图象特征（奇函数且在该点值为正）。

综上所述，排除其他错误趋势，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• “三看”原则识别图象：

1. 看定义域与奇偶性：快速缩小范围。
2. 看特殊值：正负号、零点、端点值、极值点。
3. 看变化趋势：单调性或 $x\to \infty$（或在本题区间端点）的渐近情况。

• 易错点：计算 $f(\pi )$ 时忽略了分母 $\cos \pi =-1$，若误记为 $1$ 会导致正负判断失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目要求更精细的判断，可以考虑 $f^{\prime }(0)$： $f^{\prime }(0)={\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}={\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x+x}{x(\cos x+x^2)}={\lim }_{x\to 0}\frac{2x}{x(1+0)}=2$。 这说明函数在原点处的切线斜率为正，且增长较快，这与图象在原点附近的走势是吻合的。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2000-广东卷理-05 单-函数的奇偶性
• 2000-新课标理-05 单-函数的奇偶性
• 2009-山东卷文-06 单-函数图象识别