2009-山东卷文-06 单-函数图象识别

本题导读

考查图象识别。$f(-x)=-f(x)$ 为奇函数，$x>0$ 时 $y>1$ 且递减趋于 $1$，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(文)） 函数 $y=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$ 的图象大致为 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 奇偶性：分子 $e^x+e^{-x}$ 为偶、分母 $e^x-e^{-x}$ 为奇，商为奇函数，图象关于原点对称。
2. $x>0$ 时 $e^x>e^{-x}$，分母为正；且 $e^x+e^{-x}>e^x-e^{-x}$，故 $y>1$。
3. $x\to +\infty$ 时 $y\to 1^{+}$，$x\to 0^{+}$ 时 $y\to +\infty$：第一象限内图象递减、以 $y=1$ 为渐近线，与图 A 相符。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$，则 $f(-x)=\frac{e^{-x}+e^x}{e^{-x}-e^x}=-f(x)$，函数为奇函数，图象关于原点对称。 当 $x>0$ 时，$e^x>e^{-x}$，分母为正，且分子大于分母，故 $f(x)>1$； 又 $x\to +\infty$ 时 $f(x)\to 1$，$x\to 0^{+}$ 时 $f(x)\to +\infty$，图象在第一象限内递减且以 $y=1$ 为渐近线。 对照四个选项，只有 A 符合（B 不关于原点对称，C、D 在 $x>0$ 时函数值不恒大于 $1$）。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数图象的识别

核心方法：奇偶性排除 + 趋势定形

避坑指南：分子偶、分母奇，商为奇函数；$x>0$ 时 $y>1$，$x\to +\infty$ 时 $y\to 1$，渐近线 $y=\pm 1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：识图题先看对称性（奇偶），再看特殊位置的值与趋势（$x\to 0^{+}$，$x\to +\infty$）。

结论推广：$y=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$ 是双曲余切的倒数结构，两水平渐近线 $y=\pm 1$。

方法推广：$x\to 0^{+}$ 时分母 $\to 0^{+}$ 而分子 $\to 2$，函数值 $\to +\infty$，图象贴着 $y$ 轴向上。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-11 单-函数图象识别
• 2009-安徽卷文-08 单-三次函数图象
• 2011-四川卷文-04 单-反函数图象