2019-全国卷I文-08 单-向量垂直

本题导读

本题考查平面向量的垂直，以及向量的夹角公式。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(文)）已知非零向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{a}|=2|\mathbf{b}|$，且 $(\mathbf{a}-\mathbf{b})\perp \mathbf{b}$，则 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 ()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{2\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{5\pi }{6}$

🔍【思路分析】

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1. 由 $(\mathbf{a}-\mathbf{b})\perp \mathbf{b}$ 可得其数量积为零，即 $(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=0$。

2. 展开得到 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{b}{|}^2$，结合夹角公式 $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$ 求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $(\mathbf{a}-\mathbf{b})\perp \mathbf{b}$，

所以 $(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot \mathbf{b}=0$，即 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-|\mathbf{b}{|}^2=0$，从而 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{b}{|}^2$。

设向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $\theta$，

则 $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=\frac{|\mathbf{b}{|}^2}{2|\mathbf{b}|\cdot |\mathbf{b}|}=\frac{|\mathbf{b}{|}^2}{2|\mathbf{b}{|}^2}=\frac{1}{2}$。

因为 $\theta \in [0,\pi ]$，所以 $\theta =\frac{\pi }{3}$。

故选：(B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积及夹角。

2. 核心方法：利用垂直条件转化为数量积方程。

3. 避坑指南：注意向量夹角的取值范围为 $[0,\pi ]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 平面向量数量积经典题。

2. 结论推广: 熟练掌握向量模长与夹角的转化技巧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2005-江西卷理-06 单-平面向量的坐标运算

• 2006-浙江卷理-15 解-向量的夹角公式

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算