2019-全国卷I文-11 单-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(文)）$△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $a\sin A-b\sin B=4c\sin C$，$\cos A=-\frac{1}{4}$，则 $\frac{b}{c}=$ ()

A. 6　　　　　　　B. 5　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

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1. 利用正弦定理将边角关系转化为纯边长关系：由 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，可得 $\sin A=\frac{a}{2R}$ 等。
2. 将正弦代入已知等式化简得 $a^2-b^2=4c^2$，即 $a^2=b^2+4c^2$。
3. 结合余弦定理 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-\frac{1}{4}$ 联立求解边长比值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，得： $\sin A=\frac{a}{2R}$，$\sin B=\frac{b}{2R}$，$\sin C=\frac{c}{2R}$。 代入 $a\sin A-b\sin B=4c\sin C$ 中，得： $a\cdot \frac{a}{2R}-b\cdot \frac{b}{2R}=4c\cdot \frac{c}{2R}$，即 $a^2-b^2=4c^2$，变形得 $a^2=b^2+4c^2$。 由余弦定理知 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$， 将 $a^2=b^2+4c^2$ 代入上式得： $\cos A=\frac{b^2+c^2-(b^2+4c^2)}{2bc}=\frac{-3c^2}{2bc}=-\frac{3c}{2b}=-\frac{1}{4}$。 解得 $\frac{b}{c}=6$。 故选：(A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理、余弦定理。
2. 核心方法：边角互化（将正弦化为边长）。
3. 避坑指南：熟练进行代数式的整体代换，避免盲目求出具体边长。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 解三角形综合题。
2. 结论推广: 熟练掌握三角形中边角转换的常见代数技巧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2025-天津卷-16 解-解三角形综合
• 2009-大纲卷I文-18 解-解三角形求边
• 2009-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形