2019-全国卷I文-12 单-椭圆定义

本题导读

本题考查椭圆的定义，以及椭圆的几何性质。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(文)）已知椭圆 $C$ 的焦点为 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$，过 $F_2$ 的直线与 $C$ 交于 $A,B$ 两点。若 $|A{F}_2|=2|F_{2}B|$， $|AB|=|B{F}_1|$，则 $C$ 的方程为 ()

A. $\frac{x^2}{2}+y^2=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$

C. $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$

🔍【思路分析】

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1. 设 $|F_{2}B|=m$，则 $|A{F}_2|=2m$，故 $|AB|=|A{F}_2|+|F_{2}B|=3m$。
2. 由已知 $|B{F}_1|=|AB|=3m$。在 $△B{F}_1{F}_2$ 中，三边分别为 $|B{F}_1|=3m$，$|F_{2}B|=m$，$|F_1{F}_2|=2c=2$。
3. 利用椭圆定义：对点 $B$ 有 $|B{F}_1|+|B{F}_2|=2a$，对点 $A$ 有 $|A{F}_1|+|A{F}_2|=2a$，建立方程组求解 $a,c$，进而求出 $b$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $F_1(-1,0)$、$F_2(1,0)$ 得 $c=1$。 设 $|F_{2}B|=m$，则 $|A{F}_2|=2m$。因 $A,F_2,B$ 共线且 $|AB|=|A{F}_2|+|F_{2}B|$，故 $|AB|=3m$，又 $|AB|=|B{F}_1|$，所以 $|B{F}_1|=3m$。 对点 $B$ 用椭圆定义：$|B{F}_1|+|B{F}_2|=2a$，即 $3m+m=2a$，得 $a=2m$。 对点 $A$ 再用一次定义：$|A{F}_1|=2a-|A{F}_2|=4m-2m=2m$。 于是 $|A{F}_1|=|A{F}_2|$，点 $A$ 在 $F_1{F}_2$ 的垂直平分线即 $y$ 轴上，设 $A(0,b)(b>0)$。 由 $|A{F}_2|=\sqrt{1+b^2}=2m$ 且 $a=2m$，得 $a^2=1+b^2$，与 $c=1$ 相容。 $F_2$ 在 $A,B$ 之间，且 $|F_{2}B|=\frac{1}{2}|A{F}_2|$，故 $\overrightarrow{F_{2}B}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{A{F}_2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{F_{2}A}$，即 $B=\left(1+\frac{1}{2}(0-1),0+\frac{1}{2}(b-0)\right)=\left(\frac{3}{2},\frac{b}{2}\right).$ （若 $A(0,-b)$，则 $B\left(\frac{3}{2},-\frac{b}{2}\right)$，结果相同。） 将 $B$ 代入 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$： $\frac{9}{4a^2}+\frac{1}{4}=1⟹a^2=3,b^2=a^2-1=2.$ 故 $C:\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$。 故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的定义及几何图形性质。
2. 核心方法：数形结合，灵活运用椭圆定义转化焦半径。
3. 避坑指南：准确标记各线段长度比例，避免比例关系张冠李戴。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线压轴选择题。
2. 结论推广: 熟练掌握椭圆定义中焦半径的和为 $2a$ 的应用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-15 填-椭圆性质
• 2013-四川卷理-20 解-椭圆定义
• 2013-大纲卷理-08 单-椭圆性质