2019-全国卷I理-12 单-外接球

本题导读

本题考查空间几何体的外接球，以及线面垂直的判定与性质。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(理)）已知三棱锥 $P-ABC$ 的四个顶点在球 $O$ 的球面上，$PA=PB=PC$，$\Delta ABC$ 是边长为 2 的正三角形，$E,F$ 分别是 $PA,AB$ 的中点，$\angle CEF=90^{\circ }$，则球 $O$ 的体积为()

A. $8\sqrt{6}\pi$　　　　　　　B. $4\sqrt{6}\pi$　　　　　　　C. $2\sqrt{6}\pi$　　　　　　　D. $\sqrt{6}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定三棱锥形状：由 $PA=PB=PC$ 且 $\Delta ABC$ 为等边三角形可知，$P-ABC$ 是正三棱锥。
2. 寻找垂直关系：

• 根据正三棱锥性质，$PB\perp AC$。
• 利用中位线 $EF//PB$ 得到 $EF\perp AC$。
• 结合已知 $EF\perp CE$，由线面垂直判定定理证出 $EF\perp$ 面 $PAC$。
• 进一步推导得 $PB\perp PA$ 且 $PB\perp PC$。

3. 计算侧棱长：通过几何计算（或由对称性）确定 $PA,PB,PC$ 两两垂直。
4. 求外接球半径：对于侧棱两两垂直的三棱锥，其外接球直径 $2R=\sqrt{P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2}$。
5. 计算体积：应用 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】 第一步：证明侧棱两两垂直

1. 在正三棱锥 $P-ABC$ 中，取 $AC$ 中点 $D$，连接 $PD,BD$。因为 $PA=PC$ 且 $BA=BC$，所以 $AC\perp PD,AC\perp BD$，从而 $AC\perp$ 平面 $PBD$，故 $AC\perp PB$。
2. 因为 $E,F$ 分别是 $PA,AB$ 的中点，所以 $EF//PB$。由 $AC\perp PB$ 得 $EF\perp AC$。
3. 又已知 $EF\perp CE$，且 $AC\cap CE=C$，所以 $EF\perp$ 平面 $PAC$。
4. 因为 $EF//PB$，所以 $PB\perp$ 平面 $PAC$。
5. 从而 $PB\perp PA,PB\perp PC$。由对称性（或同理可证）可知 $PA,PB,PC$ 两两垂直。

第二步：求侧棱长 设 $PA=PB=PC=l$。 在 $Rt\Delta PAB$ 中，$AB=\sqrt{P{A}^2+P{B}^2}=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2}l$。 已知 $AB=2$，所以 $\sqrt{2}l=2$，解得 $l=\sqrt{2}$。 即 $PA=PB=PC=\sqrt{2}$。

第三步：计算球半径与体积 由于 $PA,PB,PC$ 两两垂直，可将其补形为一个以 $PA,PB,PC$ 为棱的正方体（本题中棱长相等），其外接球直径为体对角线长度： $(2R{)}^2=P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2=(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2=6$。 则 $2R=\sqrt{6}$，半径 $R=\frac{\sqrt{6}}{2}$。 球的体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{6\sqrt{6}}{8}=\sqrt{6}\pi$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 线面垂直的转化：本题难点在于将 $\angle CEF=90^{\circ }$ 转化为 $PB\perp$ 平面 $PAC$。这是空间几何题中典型的“由角找垂直，由垂直找位置”的思路。
• 补形法技巧：侧棱两两垂直的三棱锥、长方体、正方体是外接球考查的高频模型。记住公式 $(2R{)}^2=a^2+b^2+c^2$ 能显著提高解题速度。
• 压轴题特征：作为选择题最后一题，本题综合了线面位置关系、空间计算和模型转化，对空间想象能力要求较高。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 等腰模型：若侧棱长为 $l$，底面外接圆半径为 $r$，则 $R^2=(h-R{)}^2+r^2$（$h$ 为高）。
2. 对棱相等模型：三组对棱分别相等的三棱锥可以补形为一个长方体，其外接球直径等于长方体体对角线。
3. 直角模型：有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，球心在高的中垂面与底面外心垂直线的交点上。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式
• 1980-全国卷理-05